MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Правила сложения и умножения вероятностей

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей: если события $ A_1, A_2,...,A_n , ...$ попарно несовместны, то справедливо равенство

$\displaystyle p(A_1+ A_2,+...+ A_n +...) = p(A_1) + p(A_2) +..+ p(A_n)+.... (1)
$

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

$\displaystyle p(\bar{A})=1-p(A). (2)
$

Для произвольных событий A и B имеет место формула:

$\displaystyle p(A + B) = p(A) + p(В) – p(AВ). (3)
$

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:

$\displaystyle p(\sum\limits_{k=1}^nA_k)=
\sum\limits_{k=1}^np(A_k)-
\sum\limits_{1\leq k<j\leq n}p(A_kA_j)+...+(-1)^np(A_1A_2...A_n. (4)
$

Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:

$\displaystyle p(B\vert A)=\dfrac{p(AB)}{p(A)}. (5)
$

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

$\displaystyle p(AВ) = p(A) p(В\vert A). (6)
$

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

$\displaystyle p(A_1 A_2... A_n) = p(A_1)p(A_2 \vert A_1) p(A_3 \vert A_1A_2)+...+ p(A_n \vert A_1A_2..A_{n-1}) (7)
$

События $ A_1, A_2,..., A_n$ называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события $ A_1, A_2,..., A_n$ независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

$\displaystyle p(A_1 A_2... A_n) = p(A_1) p(A_2) ... p(A_n). (8)
$

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

$\displaystyle p(A_1 +A_2 +...+ A_n) =
1-p(\bar{A_1}\bar{A_2}...\bar{A_n}) (9)
$

В частности, если события $ A_1, A_2,..., A_n$ независимы, то

$\displaystyle p(A_1 +A_2 +...+ A_n) =
1-p(\bar{A_1}\bar{A_2}...\bar{A_n})=
$

$\displaystyle =
1 - (1 - p(A_1))(1 - p(A_2))...(1 - p(A_n)). (10)
$

Пример 1.

Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение.

Введем обозначения: событие A – попадание первого стрелка, событие B – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков.

Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)

$\displaystyle p(C) = p(A) + p(B) - p(AB).
$

Так как события А и В независимы, то

$\displaystyle p(C) = p(A) + p(B) - p(A)p(B).
$

Наконец, учитывая, что p(A) = 0,8, p(B) = 0,6, получаем:

$\displaystyle p(C) = 0,8 + 0,6 – 0,8 • 0,6 = 0,92.
$