MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Аксиомы теории вероятностей

При аксиоматическом подходе к изложению теории вероятностей за основу берется некоторое множество $ \Omega$ , элементы $ \omega$ которого называются элементарными событиями, а само $ \omega$ - пространством элементарных событий.

Зафиксируем некоторую непустую систему S, состоящую из подмножества А, В, ... пространства элементарных событий. Подмножества А, В,... назовем событиями.

Относительно структуры системы S предположим выполненными следующие две аксиомы событий:

I. Если множества $ A_1, A_2,\hdots$ ( в конечном или счетном числе) являются событиями, то их объединение $ A_1\cup A_2\cup\hdots $ тоже является событием.

II. Если множество $ A$ является событием, то его дополнение $ \Omega/ A$ до множества $ \Omega$ тоже является событием.

Система S, удовлетворяющая аксиомам I и II, называется борелевским полем событий.

Из аксиом I и II вытекает, что $ \Omega\in S, \in S$ и если $ A_i\in S$ (i = 1, 2, …), то $ A_1a_2\hdots\in S$ .

В дальнейшем операцию объединения событий будем называть сложением и обозначать знаком «+», операцию пересечения – умножением и обозначать знаком «-», а операцию <#40#>дополнения – переходом к противоположному событию<#41#> и выделять чертой сверху (например, $ \bar{A}$ ). Кроме того, событие $ \Omega$ назовем достоверным и обозначим U, $ e$ - невозможным и обозначим V.

В новых обозначениях аксиомы I и II запишутся:

I.

II. . События A и B назовем несовместными, если АВ = V (т.е. $ АВ = $ ).

Аксиомы вероятностей:

1. Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное число $ p(A)$ , называемое вероятностью события A..

2. Если события $ A_1, A_2,\hdots$ попарно несовместны, то $ p(A_1 + A_2 + \hdots) = p(A_1) + p(A_2) + \hdots$ (аксиома счетной аддитивности).

3. $ p(U) = 1$ .

Совокупность трех объектов $ < \Omega, S, p(A) >$ , в которой S удовлетворяет аксиомам I и II, а функция $ p(A)$ – аксиомам 1, 2, 3, назовем вероятностной схемой.