MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Дискретная случайная величина и закон ее распределения

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами $ \xi,\eta...$

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина $ \xi$ , если указано конечное или счетное множество чисел

$\displaystyle x_1,x_2,...,x_n,...
$

и каждому из этих чисел $ x_i$ поставлено в соответствие некоторое положительное число $ p_i$ , причем

$\displaystyle p_1 + p_2 + ...+p_n+...= 1.
$

Числа $ x_1, x_2...$ называются возможными значениями случайной величины $ \xi$ , а числа $ p_1,p_2,...$ - вероятностями этих значений ( $ p_i = P(\xi = x_i)$ ).

Таблица

$\displaystyle xi x1 x2 …
pi p1 p2 …
$

называется законом распределения дискретной случайной величины $ \xi$ .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки $ (x_i, p_i)$ и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины $ \xi$ .

Если возможными значениями дискретной случайной величины $ \xi$ являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

$\displaystyle P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k},\ k = 0,1,…n;\ q = 1- p,
$

то говорят, что случайная величина $ \xi$ имеет биномиальный закон распределения:

$\displaystyle xi 0 1 … n
pi pn(0) pn(1) … pn(n).
$

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем $ m\leq s \leq n.$ Если возможными значениями дискретной случайной величины $ \xi$ являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

$\displaystyle p_k = P(\xi = k) = \dfrac{C_m^k\cdot C_{n-m}^{s-k}}{C_n^s} , k = 0,1,…,m,
$

то говорят, что случайная величина $ \xi$ имеет гипергеометрический закон распределения.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

$\displaystyle xi 1 2 3 … k …
pi p1 p2 p3 … pk …
$

где $ p_k = q^{k-1}p, q = 1 – p (0 < p < 1)$ ;

Закон распределения Пуассона:

$\displaystyle xi 0 1 2 3 … k …
pi p0 p1 p2 p3 … pk …
$

где

$\displaystyle p_k=P_n(k)\approx
\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},
$

$ \lambda$ - положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при $ n\to\infty$ , $ p\to 0$ , $ np = \lambda = \const$ . Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

$\displaystyle P_n(k)\approx
\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},
$

где $ \lambda = np$ .