MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Приближенные формулы Лапласа и Пуассона

Локальная приближенная формула Лапласа.

При больших n имеет место приближенное равенство

$\displaystyle P_n(k)=\dfrac{1}{\sqrt{npq}}\varphi(x) \qquad \eqno (1)
$

где

n - число опытов (испытаний),

p - вероятность успеха,

q=1-p - вероятность неуспеха,

$ x = \dfrac{k-np}{\sqrt{npq}}$ ,

$ \varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$ .

Интегральная приближенная формула Лапласа.

При больших n имеет место приближенное равенство

$\displaystyle P_n(k_1\leq k\leq k_2)\approx
\Phi(x_2)-\Phi(x_1), \qquad\eqno (2)
$

где

n - число опытов (испытаний),

p - вероятность успеха,

q=1-p - вероятность неуспеха,

$ x_1 = \dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}$ ,

$ x_2 = \dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}$ ,

$ \Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^x e^{-\dfrac{x^2}{2}}\,dx.
$

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа. При нахождении значений функции $ \varphi(x)\ $   и$ \ \Phi(x)$ для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что $ \varphi(x)\ $ - четная, а Ф(х) – нечетная.

Отметим еще, что приближенными формулами Лапласа (1) и (2) на практике пользуются в случае, если npq > 10 или npq = 10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Приближенная формула Пуассона.

При больших n и малых р справедлива формула

$\displaystyle P_n(k)\approx\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\qquad\eqno(3)
$

где

n - число опытов (испытаний),

p - вероятность успеха,

$ \lambda=np$ .