Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Случайная величина $\xi$ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Для непрерывной случайной величины $\xi$ при любом $x_0 \in R$ имеет место равенство

$\displaystyle P(\xi = x_0) = 0,\qquad\eqno(1)$

а также

$\displaystyle P(x_1 \leq \xi \leq x_2 ) = P(x_1 < \xi < x_2 ) = P(x_1 < \xi \leq x_2 ) = P(x_1 \leq \xi < \xi_2 ) = F(x_2 ) - F (x_1 ),\eqno (2)$

где F(x) функция распределения величины $\xi$ .

Пусть f(x) - неотрицательная интегрируемая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условию

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1.\qquad\eqno(3)$

Тогда функция

$\displaystyle F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(t)dt\qquad\eqno (4)$

обладает всеми свойствами функции распределения. Кроме того, F(x) непрерывна в любой точке (и слева, и справа). Следовательно, случайная величина $\xi$ , определяемая функцией распределения F(x), является непрерывной.

Мы говорим, что случайная величина $\xi$ с функцией распределения F(x) раcпределена с плотностью, если существует неотрицательная функция f(x), такая, что для любого $x\in R$ имеет место равенство (2). При этом f(x) называется плотностью вероятности случайной величины $\xi$ , а ее график – кривой распределения.

Из определения плотности вероятности f(x) и свойств функции распределения следует, что f(x) должна удовлетворять условию (1). И обратно, если и выполняется условие (1), то f(x) является плотностью вероятности.

Если случайная величина $\xi$ имеет плотность вероятности f(x) , то имеет место формула

$\displaystyle P(x_1<\xi<x_2)=\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx.$