MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть известна функция $ y = f(x)$ и требуется найти длину дуги, заданной функцией $ y = f(x)$ , где $ x\in[a,\,b]$ .

Для определения длины дуги $ l$ необходимо вычислить определенный интеграл:

$\displaystyle s = \int\limits_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}d\,x.
$

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

$\displaystyle l:\left\{
\begin{array}{l}
x = \varphi(t),\\
y = \psi(t),
\end{array}
\right.
$

где $ t\in[a,\,b]$ . В этом случае для определения длина дуги $ l$ вычисляется определенный интеграл:

$\displaystyle s = \int\limits_a^b\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}d\,t =
\int\limits_a^b\sqrt{(\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2}d\,t
$

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах $ \rho = \rho(\varphi),$ где $ \varphi\in[\alpha,\,\beta]$ . Тогда для определения длины дуги $ l$ вычисляется следующий определенный интеграл:

$\displaystyle s = \int\limits_{\alpha}^{\beta}
\sqrt{\rho^2 + (\rho')^2}d\,\varphi
$