MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Вычисление площадей

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную осью $ Ox$ , прямыми $ x = a$ , $ x = b$ и кривой $ y = f(x)$ .

Требуется найти площадь данной криволинейной трапеции. Покажем, что эта задача эквивалентна нахождению определенного интеграла.

Разобъем отрезок $ [a,\,b]$ на $ n$ частей точками

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.
$

Получаем, что отрезок $ [a,\,b]$ есть объединение полуинтервалов открытых слева $ A_i=[x_{i-1},\,x_i)$ , $ i=1,2,\ldots,n-1$ и отрезка $ A_n=[x_{n-1},x_n]$ , т.е.

$\displaystyle [a,\, b] =
\left(\bigcup\limits_{i=1}^{n-1}[x_{i-1},\,x_i)\right)\cup[x_{n-1},x_n]=
\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i,
$

(эти полуинтервалы $ A_1,\,A_2,\ldots,A_{n_1}$ и отрезок $ A_n$ будем называть множествами).

Возьмем из каждого множества $ A_i$ произвольную точку $ \xi_i$ и составим следующую сумму:

$\displaystyle S = \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,
$

где $ \Delta x_i =
\vert A_i\vert =
x_{i}-x_{i-1}$ -- длина (мера) множества $ A_i$ (полуинтервала).

Величина $ S_n$ -- это сумма площадей прямоугольников со сторонами $ \Delta x_i$ и $ f(\xi_i)$ , $ i = 1,3,\ldots,n$ . При стремлении к нулю $ \max \Delta x_i$ сумма $ S_n$ будет стремиться к значению определенного интеграла

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x =
\lim\limits_{\max \Delta x_i \to 0}
\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.
$

Получаем, что площадь криволинейной трапеции есть

$\displaystyle S = \int\limits_a^b f(x)d\,x.
$

Рассмотрим случай задания кривой параметрическим образом, т.е.

$\displaystyle \begin{array}{l}
x = \varphi(t),\\
y = \psi(t),
\end{array}
$

где параметр $ t\in[a,\,b]$ . Тогда площадь вычисляется через определенный интеграл:

$\displaystyle S = \int\limits_a^b \psi(t)\varphi'(t)d\,t.
$

Аналогично можно рассмотреть случай, когда криволинейная трапеция прилежит к оси $ Oy$ , т.е. криволинейная трапеция ограничена линиями $ y = c$ , $ y = d$ , осью $ Oy$ и кривой $ x = F(y)$ . В этом случае площадь вычисляется через интеграл:

$\displaystyle S = \int\limits_c^dF(y)d\,y.
$