MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Вычисление площади поверхности вращения

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой $ y = f(x)$ вокруг оси $ Ox$ , где $ x\in[a,\,b]$ .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

$\displaystyle S_x = 2\pi\int\limits_a^bf(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}d\,x.
$

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую $ x = F(y)$ вокруг оси $ Oy$ , где $ y\in[c,\,d]$

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

$\displaystyle S_y = 2\pi\int\limits_c^dF(x)\sqrt{1+(F'(y))^2}d\,y.
$