MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Квадратурные формулы

Поставим определенному интегралу в соответствие квадратурную формулу:

$\displaystyle \int\limits_0^1 f(x)d\,x\approx \sum\limits_{k=0}^m p_k f(x_k),
$

здесь $ x_k$ -- узлы отрезка $ [0,\,1]$ и $ p_k$ -- весовые коэффициенты.

Общая задача состоит в том, что узлы и коэффициенты неизвестны и их надо найти из дополнительных условий.

Рассмотрим задачу определения коэффициентов $ p_k$ при фиксированных узлах $ x_k$ и дополнительном условии: формула приближенного вычисления определенного интеграла должна быть верна для любого многочлена степени от 0 до $ m$ , т.е.

$\displaystyle \int\limits_0^1 P_r(x)d\,x =
\sum\limits_{k=0}^m p_k P_r(x_k),
$

где $ 0\leq r\leq m$ и узлы $ x_k\in [0,\,1]$ фиксированы.

Для того, чтобы многочлен (полином) степени $ r$ удовлетворял равенству, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была верна для любого одночлена $ x^l$ степени $ l = 0,1,2,\ldots,r$ .

Найдем определенный интеграл от одночлена $ x^l$ на отрезке $ [0,\,1]$ :

$\displaystyle \int\limits_0^1 x^l d\,x =
\left.\dfrac{x^{l+1}}{l+1}\right\vert _0^1 = \dfrac{1}{l+1}.
$

Далее подставляя по-очереди одночлены $ x^l$ , получаем систему линейных алгебраических уравнений:

$\displaystyle \begin{array}{l}
l = 0:\ p_0+p_1+\ldots+p_m=1;\\
l = 1:\ p_0x_...
...ts\\
l = m:\ p_0x_0^m+p_1x_1^m+\ldots+p_mx_m^m=\dfrac{1}{m+1}.
\end{array}
$

Эта система имеет единственное решение (если нет совпадающих узлов $ x_k$ ).

Решением системы являются коэффициенты $ p_k$ .

Задавая произвольное $ m$ и решая систему, можно получить квадратурную формулу.

Замечание. Здесь рассматривался отрезок $ [0,\,1]$ , но, повторяя аналогичные рассуждения, можно получить формулу для произвольного отрезка интегрирования.