MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Формулы прямоугольников

Разобъем отрезок $ [a,\,b]$ на $ n$ частей точками

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.
$

Возьмем из каждого полуинтервала по одной точке $ \xi_i$ и составим следующую сумму:

$\displaystyle S = \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,
$

где $ \Delta x_i =
\vert A_i\vert =
x_{i}-x_{i-1}$ -- длина полуинтервала.

Рассмотрим случай равномерного разбиения отрезка $ [a,\,b]$ , т.е. отрезок разбивается на $ n$ равных полуинтервалов длины $ h=x_{i}-x_{i-1}$ .

В зависимости от расположения точки $ \xi_i$ внутри своего полуинтервала получаются различные формулы, но суть их одна и та же, т.е. всегда аппроксимация площади под функцией $ f(x)$ на отрезке $ [x_{i-1},\,x_i]$ является прямоугольником со сторонами $ f(\xi_i)$ и $ h$ .

Пусть точка $ \xi_i$ совпадает с точкой $ x_i$ , где $ i=0,1,2,\ldots,n-1$ , т.е. точка $ \xi_i$ вычисляется как $ x_0+ih$ . В этом случае получаем формулу левых прямоугольников для приближенного вычисления определенных интегралов:

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x \approx
hf(\xi_0)+hf(\xi_1)+\ldots+hf(\xi_{n-1})=
$

$\displaystyle =
h\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)=
h\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(x_0+ih).
$

Пусть точка $ \xi_i$ совпадает с точкой $ x_i$ , где $ i=1,2,3,\ldots,n$ , т.е. точка $ \xi_i$ вычисляется как $ x_0+ih$ . В этом случае получаем формулу правых прямоугольников для приближенного вычисления определенных интегралов:

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x \approx
hf(\xi_1)+hf(\xi_2)+\ldots+hf(\xi_{n})=
$

$\displaystyle =
h\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)=
h\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_0+ih).
$

Пусть точка $ \xi_i$ есть середина отрезка $ [x_i,\,x_{i+1}]$ , т.е. $ \xi_i = \dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}$ , где $ i=0,1,2,\ldots,n-1.$ Тогда значение точки $ \xi_i$ вычисляется как $ \xi_i=x_0+(i+0.5)h$ . В этом случае получаем формулу ценральных прямоугольников для приближенного вычисления определенных интегралов:

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x \approx
hf(\xi_0)+hf(\xi_1)+\ldots+hf(\xi_{n-1})=
$

$\displaystyle =
h\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)=
h\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(x_0+(i+0.5)h).
$