MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Формула трапеций

Разобъем отрезок $ [a,\,b]$ на $ n$ частей точками

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.
$

Возьмем из каждого полуинтервала по одной точке $ \xi_i$ и составим следующую сумму:

$\displaystyle S = \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,
$

где $ \Delta x_i =
\vert A_i\vert =
x_{i}-x_{i-1}$ -- длина полуинтервала.

Рассмотрим случай равномерного разбиения отрезка $ [a,\,b]$ , т.е. отрезок разбивается на $ n$ равных полуинтервалов длины $ h=x_{i}-x_{i-1}$ .

Заменим площадь криволинейной трапеции $ x_iy_iy_{i+1}x_{i+1}$ площадью трапеции с основаниями $ x_iy_i=f(x_i)$ , $ y_{i+1}x_{i+1}=f(x_{i+1})$ и высотой $ x_ix_{i+1}=h$ . Получаем, что

$\displaystyle S_i=\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)d\,x\approx
h\dfrac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}.
$

В этом случае получаем формулу трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)d\,x\approx
h\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}=
$

$\displaystyle =
h\left(\dfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum\limits_{i=1}^{n-2}f(x_i)\right).
$