MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Основные понятия и определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим произвольную функцию $ f(x)$ , которая определена и непрерывна на отрезке $ [a,\,b]$ . Разобъем отрезок $ [a,\,b]$ на $ n$ частей (не обязательно равных) точками

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b,
$

которые не совпадают. Получаем, что отрезок $ [a,\,b]$ есть объединение полуинтервалов открытых справа $ A_i=[x_{i-1},\,x_i)$ , $ i=1,2,\ldots,n-1$ и отрезка $ A_n=[x_{n-1},x_n]$ , т.е.

$\displaystyle [a,\, b] =
\left(\bigcup\limits_{i=1}^{n-1}[x_{i-1},\,x_i)\right)\cup[x_{n-1},x_n]=
\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i
$

(эти полуинтервалы $ A_1,\,A_2,\ldots,A_{n_1}$ и отрезок $ A_n$ будем называть множествами).

Возьмем из каждого множества $ A_i$ произвольную точку $ \xi_i$ и составим следующую сумму:

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,
$

где $ \Delta x_i =
\vert A_i\vert =
x_{i}-x_{i-1}$ -- длина (мера) полуинтервала $ [x_{i-1},x_i)$ (множества $ A_i$ ).

Определение. Предел от суммы $ S_n = \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$ при $ \max\Delta x_i\to 0$ , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции $ f(x)$ в пределах от $ a$ до $ b$ и обозначается:

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x=
\lim\limits_{\max\Delta x_i\to 0}S_n=
\lim\limits_{\max\Delta x_i\to 0}
\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.
$

Если существует определенный интеграл от функции $ f(x)$ , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке $ [a,\,b]$ .

Для интегрируемости функции на отрезке $ [a,\,b]$ достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на $ [a,\,b]$ , то от нее существует неопределенный интеграл

$\displaystyle \int f(x)d\,x=F(x)+C
$

и имеет место формула

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x=F(b)-F(a) =\left. F(x)\right\vert _a^b,
$

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x=
F(x)\vert _a^b=
F(b)-F(a),
$

называется формулой Ньютона-Лейбница.