Основные понятия и определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим произвольную функцию

, которая определена и непрерывна на отрезке $[a,\,b]$ . Разобъем отрезок $[a,\,b]$ на

частей (не обязательно равных) точками

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b,$

которые не совпадают. Получаем, что отрезок $[a,\,b]$ есть объединение полуинтервалов открытых справа $A_i=[x_{i-1},\,x_i)$ , $i=1,2,\ldots,n-1$ и отрезка $A_n=[x_{n-1},x_n]$ , т.е.

$\displaystyle [a,\, b] = \left(\bigcup\limits_{i=1}^{n-1}[x_{i-1},\,x_i)\right)\cup[x_{n-1},x_n]= \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i$

(эти полуинтервалы $A_1,\,A_2,\ldots,A_{n_1}$ и отрезок

будем называть множествами).

Возьмем из каждого множества произвольную точку $\xi_i$ и составим следующую сумму:

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,$

где $\Delta x_i = \vert A_i\vert = x_{i}-x_{i-1}$ -- длина (мера) полуинтервала $[x_{i-1},x_i)$ (множества

Определение. Предел от суммы $S_n = \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$ при $\max\Delta x_i\to 0$ , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается:

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x= \lim\limits_{\max\Delta x_i\to 0}S_n= \lim\limits_{\max\Delta x_i\to 0} \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.$

Если существует определенный интеграл от функции , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке $[a,\,b]$ .

Для интегрируемости функции на отрезке $[a,\,b]$ достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на $[a,\,b]$ , то от нее существует неопределенный интеграл

$\displaystyle \int f(x)d\,x=F(x)+C$

и имеет место формула

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x=F(b)-F(a) =\left. F(x)\right\vert _a^b,$

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x= F(x)\vert _a^b= F(b)-F(a),$

называется формулой Ньютона-Лейбница.