MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Несобственные интегралы первого рода

Определение Предположим, что функция $ f(x)$ задана на бесконечном промежутке вида $ [1,\,+\infty)$ и интегрируема на любом конечном отрезке $ [a,\,b]$ , где $ b\geq a $ . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

$\displaystyle F(b)=\int\limits_{a}^{b}f(x)d\,x.
$

Если эта функция имеет предел при $ b\to\infty$ , то число $ \lim\limits_{b\to +\infty}F(b)$ называется значением несобственного интеграла первого рода:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)d\,x =
\lim\limits_{b\to+\infty}\int\limits_{a}^{b}f(x)d\,x,
$

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.