MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале $ [a,\,b)$ задана функция $ f(x)$ , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке $ [a,\,b]$ . В точке $ b$ эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к $ \infty$ , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

$\displaystyle F(b_1)=
\int\limits_{a}^{b_1}f(x)d\,x,
$

она определена при $ x\in [a,\,b)$ . Эта функция может иметь предел при $ b_1\to b-0$ (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от $ f(x)$ по всему полуинтервалу $ [a,\,b)$ и обозначать в точности:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)d\,x.
$

Определение. Пусть функция $ f(x)$ удовлетворяет указанным выше условиям на $ [a,\,b)$ . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)d\,x,
$

значение которого равняется левостороннему пределу

$\displaystyle \lim\limits_{b_1\to b - 0}\int\limits_{a}^{b_1}f(x)d\,x.
$

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.