Парабола

Пусть

. Уравнение

имеет решение тогда и только тогда, когда

. Кривая

на плоскости называется параболой. Точка с координатами

, где $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ , является вершиной параболой, прямая

является осью симметрии параболы. Если

, то ветви параболы направлены вверх,

-- ветви вниз.

Если , то парабола не пересекает ось , причем если , то парабола располагается сверху от оси , а при -- снизу.
Если , то парабола касается оси , причем если , то она касается сверху, а при -- касается снизу.
Если , то парабола пересекает ось в двух точках, которые являются ее корнями.
Оба корня строго больше (меньше) числа (числа ), если и только если выполняются следующие условия

$\displaystyle \left\{\begin {array}{l} a\cdot f(m)>0\, (a\cdot f(M)>0)\\ D\geqslant0\\ x_0>m\, (<M).\end {array}\right.$
Оба корня находятся по разные стороны от числа , если и только если выполняется следующее условие $a\cdot f(M)<0$ .
Оба корня лежат на интервале , если и только если выполняются следующие условия

$\displaystyle \left\{\begin {array}{l} a\cdot f(m)>0\\ a\cdot f(M)>0\\ D\geqslant0\\ m<x_0<M.\end {array}\right.$
Отрезок лежит строго между корнями , если и только если выполняются следующие условия

$\displaystyle \left\{\begin {array}{l} a\cdot f(m)<0\\ a\cdot f(M)<0.\end {array}\right.$