MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Парабола

Пусть $ f(x)=ax^2+bx+c$ . Уравнение $ f(x)=0$ имеет решение тогда и только тогда, когда $ D=b^2-4ac>0$ . Кривая $ f(x)=0$ на плоскости называется параболой. Точка с координатами $ (x_0,f(x_0))$ , где $ x_0=-\dfrac{b}{2a}$ , является вершиной параболой, прямая $ x=x_0$ является осью симметрии параболы. Если $ a>0$ , то ветви параболы направлены вверх, $ a<0$ -- ветви вниз.

  1. Если $ D<0$ , то парабола не пересекает ось $ Ox$ , причем если $ a>0$ , то парабола располагается сверху от оси $ Ox$ , а при $ a<0$ -- снизу.
  2. Если $ D=0$ , то парабола касается оси $ Ox$ , причем если $ a>0$ , то она касается сверху, а при $ a<0$ -- касается снизу.
  3. Если $ D>0$ , то парабола пересекает ось $ Ox$ в двух точках, которые являются ее корнями.
  4. Оба корня $ f(x)$ строго больше (меньше) числа $ m$ (числа $ M$ ), если и только если выполняются следующие условия

    $\displaystyle \left\{\begin {array}{l} a\cdot f(m)>0\, (a\cdot f(M)>0)\\ D\geqslant0\\ x_0>m\, (<M).\end {array}\right.
$

  5. Оба корня $ f(x)$ находятся по разные стороны от числа $ M$ , если и только если выполняется следующее условие $ a\cdot f(M)<0$ .
  6. Оба корня $ f(x)$ лежат на интервале $ (m,M)$ , если и только если выполняются следующие условия

    $\displaystyle \left\{\begin {array}{l} a\cdot f(m)>0\\ a\cdot f(M)>0\\ D\geqslant0\\ m<x_0<M.\end {array}\right.
$

  7. Отрезок $ [m,M]$ лежит строго между корнями $ f(x)$ , если и только если выполняются следующие условия

    $\displaystyle \left\{\begin {array}{l} a\cdot f(m)<0\\ a\cdot f(M)<0.\end {array}\right.
$