MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Бином Ньютона, треугольник Паскаля и связь между ними

Рассмотрим формулы, которые позволяют достаточно легко и быстро решать большой класс задач. Например, если требуется найти коэффициент, который стоит перед $ x^{9}$ многочлена $ (2x +
1.5)^{11}$ . Для решения достаточно раскрыть все скобки, перемножить, привести подобные и получить ответ. Как видно, это достаточные долгие и нудные вычисления. В данном пункте приводятся формулы, по которым получается сразу ответ, это так называемый Бином Ньютона.

Хорошо известны следующие школьные формулы:

$\displaystyle \begin{array}{l}
(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2;\\
(a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3.
\end{array}
$

Поставим вопрос о том, можно ли эти формулы обобщить на произвольную натуральную степень $ n$ , т.е. рассмотрим следующий многочлен относительно $ a$ и $ b$ и степени $ n$ :

$\displaystyle (a+b)^n = A_0b^n+
A_1ab^{n-1}+ \ldots +
A_{n-1}a^{n-1}b +
A_na^n.
$

Данное равенство легко получить, раскрыв все скобки и приводя подобные члены. Здесь коэффициенты $ A_i$ , где $ i=0,1,2,\ldots,n$ , являются неизвестными и требуются определения.

Возникает вопрос, а каким образом, каким способом можно найти данные коэффициенты?

Ответ на этот вопрос дает Бином Ньютона:

$\displaystyle (a+b)^n =
\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^kb^{n-k},
$

где

$\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!k!},
$

здесь $ n!=n(n-1)(n-2)\ldots 1$ и по определению $ 0!=1$ . Коэффициенты $ C_n^k$ называются биномиальными.

Это равенство можно доказать методом математической индукции.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем выражения для коэффициентов:

$\displaystyle A_k = C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}.
$

Рассмотрим еще один способ получения коэффициентов $ A_i$ в разложении $ (a+b)^n$ - это треугольник Паскаля.

$\displaystyle \begin{array}{cccccccccccc}
& & & & &1& & & & & &n=0\\
& & & &...
...\searrow&+&\swarrow\searrow& &\\
1& &5& &10&&10& &5& &1&n=5\\
\end{array}
$

Опишем алгоритм построения данного треугольника. Каждая строка треугольника соответствует конкретной степени $ n$ многочлена, значения в строке соответствуют коэффициентам в разложении. Треугольник строится сверху вниз, т.е. от многочлена нулевой степени, каждый раз увеличивая степень на единицу. Стрелками показано какие операции выполняются, т.е. сносятся каждые числа и складываются соседние.

Далее выписывается многочлен данной степени $ n$ и расставляются по порядку значения из $ n$ -ой строки треугольника.

Пример.

Найти разложение:

$\displaystyle (x+2)^4.
$

Решение.

В данном примере: $ a = x$ , $ b = 2$ и $ n=4$ , т.е. нужно взять четвертую строку треугольника (где справа стоит $ n=4$ ).

Выписываем разложение с неопределенными коэффициентами:

$\displaystyle (a+b)^4 = A_0b^4+A_1ab^3+A_2a^2b+A_3a^3b+A_4a^4,
$

подставляем вместо $ a = x$ и $ b = 2$ , получаем

$\displaystyle (x+2)^4 = A_02^4+A_1x2^3+A_2x^22^2+A_3x^32+A_4x^4=
$

$\displaystyle \qquad
=
16A_0+ 8 A_1x+ 4A_2x^2+ 2A_3x^3+A_4x^4.
$

Теперь берем значения из четвертой строки треугольника и подставляем их поочереди вместо коэффициентов:

$\displaystyle (x+2)^4 = 16\cdot 1+ 8\cdot 4x+ 4\cdot 6 x^2+ 2\cdot 4x^3+ 1x^4=
$

$\displaystyle \qquad
=
16+32x+24x^2+8x^3+x^4.
$

Ответ: $ (x+2)^4
=
16+32x+24x^2+8x^3+x^4.
$

Здесь прослеживается реккурентная связь между коэффициентами. Получаем, что если известны коэффициенты для многочлена $ (n-1)$ -ой степени, тогда для многочлена $ n$ -ой степени они находятся простым суммированием.

Получается, что элемент, стоящий в $ n$ -ой строке ( $ n=0,1,2,\ldots$ ), и в $ k$ -ом столбце ( $ k=0,1,2,\ldots,n$ ) определяется по формуле

$\displaystyle a_{nk} = C_n^k,
$

т.е. это будет связь треугольника Паскаля с биномиальными коэффициентами.

Рассмотрим пример, про который говорилось в начале пункта: найти коэффициент, который стоит перед $ x^{9}$ многочлена $ (2x +
1.5)^{11}$ ?

Решение.

Используя бином Ньютона, получаем:

$\displaystyle (2x + 1.5)^{11} =
\sum_{k=0}^{11}C_{11}^k(2x)^k(1.5)^{11-k} =
\sum_{k=0}^{11}C_{11}^k2^kx^k(3/2)^{11-k}.
$

Степень, равная $ 9$ -и, у $ x$ будет при $ k=9$ , получаем, что коэффициент при $ x^9$ равен

$\displaystyle C_{11}^9 2^9 1.5^2 =
\frac{11!}{9!2!}\cdot\frac{512\cdot 9}{4}=
\frac{10\cdot 11}{2}\cdot 128\cdot 9=
55\cdot 9\cdot 128 = 63360.
$