Бином Ньютона, треугольник Паскаля и связь между ними

Рассмотрим формулы, которые позволяют достаточно легко и быстро решать большой класс задач. Например, если требуется найти коэффициент, который стоит перед $x^{9}$ многочлена $(2x + 1.5)^{11}$ . Для решения достаточно раскрыть все скобки, перемножить, привести подобные и получить ответ. Как видно, это достаточные долгие и нудные вычисления. В данном пункте приводятся формулы, по которым получается сразу ответ, это так называемый Бином Ньютона.

Хорошо известны следующие школьные формулы:

$\displaystyle \begin{array}{l} (a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2;\\ (a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3. \end{array}$

Поставим вопрос о том, можно ли эти формулы обобщить на произвольную натуральную степень

, т.е. рассмотрим следующий многочлен относительно

и степени

$\displaystyle (a+b)^n = A_0b^n+ A_1ab^{n-1}+ \ldots + A_{n-1}a^{n-1}b + A_na^n.$

Данное равенство легко получить, раскрыв все скобки и приводя подобные члены. Здесь коэффициенты

, где $i=0,1,2,\ldots,n$ , являются неизвестными и требуются определения.

Возникает вопрос, а каким образом, каким способом можно найти данные коэффициенты?

Ответ на этот вопрос дает Бином Ньютона:

$\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^kb^{n-k},$

где

$\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!k!},$

здесь $n!=n(n-1)(n-2)\ldots 1$ и по определению

. Коэффициенты

называются биномиальными.

Это равенство можно доказать методом математической индукции.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем выражения для коэффициентов:

$\displaystyle A_k = C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}.$

Рассмотрим еще один способ получения коэффициентов в разложении - это треугольник Паскаля.

$\displaystyle \begin{array}{cccccccccccc} & & & & &1& & & & & &n=0\\ & & & &... ...\searrow&+&\swarrow\searrow& &\\ 1& &5& &10&&10& &5& &1&n=5\\ \end{array}$

Опишем алгоритм построения данного треугольника. Каждая строка треугольника соответствует конкретной степени многочлена, значения в строке соответствуют коэффициентам в разложении. Треугольник строится сверху вниз, т.е. от многочлена нулевой степени, каждый раз увеличивая степень на единицу. Стрелками показано какие операции выполняются, т.е. сносятся каждые числа и складываются соседние.

Далее выписывается многочлен данной степени и расставляются по порядку значения из -ой строки треугольника.

Пример.

Найти разложение:

$\displaystyle (x+2)^4.$

Решение.

В данном примере: , и , т.е. нужно взять четвертую строку треугольника (где справа стоит ).

Выписываем разложение с неопределенными коэффициентами:

$\displaystyle (a+b)^4 = A_0b^4+A_1ab^3+A_2a^2b+A_3a^3b+A_4a^4,$

подставляем вместо

, получаем

$\displaystyle (x+2)^4 = A_02^4+A_1x2^3+A_2x^22^2+A_3x^32+A_4x^4=$

$\displaystyle \qquad = 16A_0+ 8 A_1x+ 4A_2x^2+ 2A_3x^3+A_4x^4.$

Теперь берем значения из четвертой строки треугольника и подставляем их поочереди вместо коэффициентов:

$\displaystyle (x+2)^4 = 16\cdot 1+ 8\cdot 4x+ 4\cdot 6 x^2+ 2\cdot 4x^3+ 1x^4=$

$\displaystyle \qquad = 16+32x+24x^2+8x^3+x^4.$

Ответ:

Здесь прослеживается реккурентная связь между коэффициентами. Получаем, что если известны коэффициенты для многочлена -ой степени, тогда для многочлена -ой степени они находятся простым суммированием.

Получается, что элемент, стоящий в -ой строке ( $n=0,1,2,\ldots$ ), и в -ом столбце ( $k=0,1,2,\ldots,n$ ) определяется по формуле

$\displaystyle a_{nk} = C_n^k,$

т.е. это будет связь треугольника Паскаля с биномиальными коэффициентами.

Рассмотрим пример, про который говорилось в начале пункта: найти коэффициент, который стоит перед $x^{9}$ многочлена $(2x + 1.5)^{11}$ ?

Решение.

Используя бином Ньютона, получаем:

$\displaystyle (2x + 1.5)^{11} = \sum_{k=0}^{11}C_{11}^k(2x)^k(1.5)^{11-k} = \sum_{k=0}^{11}C_{11}^k2^kx^k(3/2)^{11-k}.$

Степень, равная

-и, у

будет при

, получаем, что коэффициент при

равен

$\displaystyle C_{11}^9 2^9 1.5^2 = \frac{11!}{9!2!}\cdot\frac{512\cdot 9}{4}= \frac{10\cdot 11}{2}\cdot 128\cdot 9= 55\cdot 9\cdot 128 = 63360.$