MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Пример разложения дроби на множители со знаменателем $x^n+1$

Рассмотрим рациональную дробь следующего вида:

$\displaystyle \dfrac{1}{x^n+1},\ $   где$\displaystyle \ n\in \mathbb{N}.
$

Задача ставится о разложении данной дроби в сумму элементарных дробей.

Основная проблема в том, что в зависимости от четности $ n$ уравнение не имеет вещественных корней или имеет всего лишь один вещественный корень, все остальные комплексные корни.

Один из способов разлоить данную дробь основывается на том, что решение уравнения $ x^n+1=0$ выписывается в явном виде (над полем комплексных чисел $ \mathbb{C}$ ) и еще на паре свойств этого решения, о которых будет сказано позже.

Сначала найдем все корни уравнения $ x^n+1=0$ . Здесь используем формулу Эйлера

$\displaystyle e^{i\varphi} = \cos\varphi+i\sin\varphi,\ $   здесь$\displaystyle \ i = \sqrt{-1},
$

с помощью которой можно представить комплексное число, записанное в алгебраической форме $ z=a+ib$ , где $ a,\ b\in \mathbb{R}$ , в виде:

$\displaystyle z=a+ib=\vert z\vert(\cos\varphi+i\sin\varphi) = \vert z\vert e^{i\varphi},
$

где $ a,\ b\in \mathbb{R}$ , $ \vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$ -- модуль числа $ z$ и $ \varphi$ -- аргумент (угол) комплексного числа $ z$ , определяется из равенства: $ \cos\varphi =\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ или $ \sin\varphi =\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Перепишем уравнение $ x^n+1=0$ в следующем виде (используя формулу Эйлера):

$\displaystyle x^n = -1 = \cos(\pi+2\pi k)+i\sin(\pi+2\pi k) = e^{i(\pi+2\pi k)},\ $   где$\displaystyle \ k\in \mathbb{Z}.
$

Используя формулу Муавра, получаем, что $ l$ -ый корень уравнения определяется равенством:

$\displaystyle x_{l} = e^{i\frac{\pi+2\pi l}{n}} = \cos\frac{\pi+2\pi l}{n}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{n}=
a_l+ib_l,\ $   где$\displaystyle \ l = 0,1,\ldots,n-1.
$

Далее учтем свойство комплексных корней уравнения с вещественными коэффициентами -- если корень $ z=a+ib$ -- комплексный, то существует сопряженный ему корень $ \bar z = a - ib$ , т.е. $ z = a+ib,\ \bar z = a - ib
$ -- два корня уравнения и в разложении будет:

$\displaystyle (x-z)(x-\bar z) =
(x - (a+ib))(x - (a-ib)) =
$

$\displaystyle =
x^2 - (a+ib)x - (a-ib)x + (a+ib)(a-ib) =
x^2 - 2ax+a^2+b^2,
$

т.е. получаем двучлен с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим два случая: $ n = 2k$ -- четное (действительных корней нет) и $ n = 2k + 1$ -- нечетное ($ x = -1$ -- единственный действительный корень).

Учитывая, что в разложение комплексный корень входит вместе со своим сопряженным, получаем, что

$\displaystyle x^n + 1 =
\left\{
\begin{array}{l}
\prod\limits_{l=0}^{n-1}(x-...
...limits_{l=0}^{k}(x^2-2a_lx+a_l^2+b_l^2),\ \ n = 2k + 1;
\end{array}
\right.
$

где $ a_l,\ b_l$ -- вещественные числа такие, что $ z = a_l+ib_l$ -- корень.

Используя представление рациональной функции в виде суммы элементарных дробей (метод неопределенных коэффициентов), имеем:

$\displaystyle \frac{1}{x^n+1} =
\left\{
\begin{array}{c}
\sum\limits_{l=0}^{...
...dfrac{A_lx+B_l}{x^2-2a_lx+a_l^2+b_l^2},\
\ n = 2k + 1;
\end{array}
\right.
$

далее, приводя к общему знаменателю и применяя метод неопределенных коэффициентов, определяем значения неизвестных $ A_l,\ B_l$ , где $ l=0,1,\ldots,k$ и $ A_n$

В общем случае получить ответ этим способом очень трудно и не нужно, но в частных случаях, при конкретном значении $ n$ достаточно легко, но рутино.

Найдем в аналитическом виде все корни данного уравнения и коэффициенты разложения на множители.

Рассмотрим случай четного показателя степени, т.е. $ n = 2k$ , из формулы Муавра получаем:

$\displaystyle x_{l} = e^{i\frac{\pi+2\pi l}{n}} = \cos\frac{\pi+2\pi l}{n}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{n}=
a_l+ib_l,\ $   где$\displaystyle \ l = 0,1,\ldots,n-1.
$

Все корни расположены на единичной окружности комплексной плоскости $ \mathbb{C}$ и образуют правильный $ n$ - угольник, так, что вершина -- это корень. Оси симметрии у многоугольника -- это оси $ Ox$ и $ Oy$ .

В симметричных относительно оси $ Ox$ вершинах находятся сопряженные корни, получаем, что корни $ x_l$ и $ x_{n-1-l}$ -- сопряженные, действительно:

$\displaystyle x_l = \cos\frac{\pi+2\pi l}{n}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{n} =
\cos\frac{\pi+2\pi l}{2k}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{2k} =
$

$\displaystyle =
\cos\left(\frac{\pi}{2k}+\dfrac{\pi l}{k}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2k}+\dfrac{\pi l}{k}\right),
$

и

$\displaystyle x_{n-1-l} = x_{2k - 1 - l} = \cos\frac{\pi+2\pi(2k - 1 - l)}{2k}+i\sin\frac{\pi+2\pi(2k - 1 - l)}{2k}=
$

$\displaystyle =
\cos\left(\frac{\pi}{2k}+2\pi-\dfrac{\pi l}{k}-\frac{\pi}{k}\right)+
i\sin\left(\frac{\pi}{2k}+2\pi-\dfrac{\pi l}{k}-\frac{\pi}{k}\right)=
$

$\displaystyle =
\cos\left(-\frac{\pi}{2k}-\dfrac{\pi l}{k}\right)+
i\sin\left(-\frac{\pi}{2k}-\dfrac{\pi l}{k}\right)=
$

$\displaystyle =
\cos\left(\frac{\pi}{2k}+\dfrac{\pi l}{k}\right)-
i\sin\left(\frac{\pi}{2k}+\dfrac{\pi l}{k}\right)= \bar{x_l}.
$

здесь $ l=0,1,\ldots,k-1.$

Учитывая вышеизложенное получаем:

$\displaystyle (x-x_l)(x-x_{n-1-l})=
x^2-(x_l+x_{n-1-l})x+x_lx_{n-1-l}=
x^2-2x\cos\left(\frac{\pi}{2k}+\dfrac{\pi l}{k}\right)+1,
$

где $ l=0,1,\ldots,k-1.$

Рассмотрим случай нечетного показателя степени, т.е. $ n = 2k + 1$ , из формулы Муавра получаем:

$\displaystyle x_{l} = e^{i\frac{\pi+2\pi l}{n}} = \cos\frac{\pi+2\pi l}{n}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{n}=
a_l+ib_l,\ $   где$\displaystyle \ l = 0,1,\ldots,n-1.
$

Все корни расположены на единичной окружности комплексной плоскости $ \mathbb{C}$ и образуют правильный $ n$ - угольник, так, что вершина -- это корень. Ось симметрии у многоугольника -- это ось $ Ox$ . Вершина, которая соответствует корню $ (-1)$ , расположена на оси $ Ox$ и имеет координаты $ (-1,0)$ .

Симметричные относительно оси $ Ox$ являются сопряженными, получаем, что корни $ x_l$ и $ x_{n-1-l}$ -- сопряженные, действительно:

$\displaystyle x_l = \cos\frac{\pi+2\pi l}{n}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{n} =
\cos\frac{\pi+2\pi l}{2k+1}+i\sin\frac{\pi+2\pi l}{2k+1} =
$

$\displaystyle =
\cos\left(\frac{\pi}{2k+1}+\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right)+
i\sin\left(\frac{\pi}{2k+1}+\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right),
$

и

$\displaystyle x_{n-1-l} = x_{2k - l} = \cos\frac{\pi+2\pi(2k - l)}{2k+1}+i\sin\frac{\pi+2\pi(2k - l)}{2k + 1}=
$

$\displaystyle =
\cos\left(\frac{\pi}{2k+1}+2\pi-\dfrac{2\pi (l+1)}{2k+1}\right)+
i\sin\left(\frac{\pi}{2k+1}+2\pi-\dfrac{2\pi (l+1)}{2k+1}\right)=
$

$\displaystyle =
\cos\left(-\frac{\pi}{2k+1}-\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right)+
i\sin\left(-\frac{\pi}{2k+1}-\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right)=
$

$\displaystyle =
\cos\left(\frac{\pi}{2k+1}+\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right)-
i\sin\left(\frac{\pi}{2k+1}+\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right) =
\bar x_l.
$

Учитывая вышеизложенное, получаем:

$\displaystyle (x-x_l)(x-x_{n-1-l})=
x^2-(x_l+x_{n-1-l})x+x_lx_{n-1-l}=
x^2-2x\cos\left(\frac{\pi}{2k+1}+\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right)+1.
$

Здесь найдены коэффициенты $ a_l$ и $ b_l$ разложения на множители. Коэффициенты обладают свойством, что $ a_l^2+b_l^2 = 1$ для всех $ l=0,1,\ldots,n-1.$ .

Окончательно получим:

$\displaystyle \frac{1}{x^n+1} =
\left\{
\begin{array}{c}
\sum\limits_{l=0}^{...
...=0}^{k-1}\dfrac{A_lx+B_l}{x^2-2a_lx+1},\
\ n = 2k + 1;
\end{array}
\right.
$

где

$\displaystyle a_l = \left\{
\begin{array}{c}
\cos\left(\dfrac{\pi}{2k}+\dfrac...
...c{\pi}{2k+1}+\dfrac{2\pi l}{2k+1}\right),\
\ n = 2k+1.
\end{array}
\right.
$