MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Гиперболические функции

Приведем основные формулы для работы с гиперболическими функциями.

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  1. Гиперболический синус:

    $\displaystyle \sh x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}
$

    (в зарубежной литературе обозначается $ \sinh x$ );
  2. Гиперболический косинус:

    $\displaystyle \ch x = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}
$

    (в зарубежной литературе обозначается $ \cosh x$ );
  3. Гиперболический тангенс:

    $\displaystyle \th x=\dfrac{\sh x}{\ch x}
$

    (в зарубежной литературе обозначается $ \tanh x$ );
  4. Гиперболический котангенс:

    $\displaystyle \cth x=\dfrac{\ch x}{\sh x};
$

  5. Гиперболические секанс и косеканс:

    $\displaystyle \rm sech x=\dfrac{1}{\ch x},
$

    $\displaystyle \rm ssch x=\dfrac{1}{\sh x}.
$

Основные формулы для гиперболических функций:

  1. Связь между $ \sh x$ и $ \ch x$ :

    $\displaystyle \ch^2x-\sh^2x=1;
$

  2. Четность и нечетность:

    $\displaystyle \ch(-x)=\ch x, \quad \sh(-x)=-\sh x,
$

    $\displaystyle \th(-x)=-\th x, \quad \cth(-x)=-\cth x;
$

  3. Формулы для суммы углов:

    $\displaystyle \sh(x+y)=\sh x\ch y+\sh y\ch x,
$

    $\displaystyle \ch(x+y)=\ch x\ch y+\sh x\sh y;
$

  4. Формулы двойных углов:

    $\displaystyle \sh 2x=2\sh x\ch x=\dfrac{2\th^2x}{1-\th^2x},
$

    $\displaystyle \ch 2x=\ch^2x+\sh^2x=\dfrac{1+\th^2x}{1-\th^2x},
$

    $\displaystyle \th^2x=\dfrac{2\th x}{1+\th^2x}.
$

  5. Формулы понижения степеней:

    $\displaystyle \ch^2x=\dfrac{\ch 2x+1}{2},
$

    $\displaystyle \sh^2x=\dfrac{\ch 2x-1}{2}.
$