Гиперболические функции

Приведем основные формулы для работы с гиперболическими функциями.

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

Гиперболический синус:

$\displaystyle \sh x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$

(в зарубежной литературе обозначается $\sinh x$ );
Гиперболический косинус:

$\displaystyle \ch x = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

(в зарубежной литературе обозначается $\cosh x$ );
Гиперболический тангенс:

$\displaystyle \th x=\dfrac{\sh x}{\ch x}$

(в зарубежной литературе обозначается $\tanh x$ );
Гиперболический котангенс:

$\displaystyle \cth x=\dfrac{\ch x}{\sh x};$
Гиперболические секанс и косеканс:

$\displaystyle \rm sech x=\dfrac{1}{\ch x},$

$\displaystyle \rm ssch x=\dfrac{1}{\sh x}.$

Основные формулы для гиперболических функций:

Связь между $\sh x$ и $\ch x$ :

$\displaystyle \ch^2x-\sh^2x=1;$
Четность и нечетность:

$\displaystyle \ch(-x)=\ch x, \quad \sh(-x)=-\sh x,$

$\displaystyle \th(-x)=-\th x, \quad \cth(-x)=-\cth x;$
Формулы для суммы углов:

$\displaystyle \sh(x+y)=\sh x\ch y+\sh y\ch x,$

$\displaystyle \ch(x+y)=\ch x\ch y+\sh x\sh y;$
Формулы двойных углов:

$\displaystyle \sh 2x=2\sh x\ch x=\dfrac{2\th^2x}{1-\th^2x},$

$\displaystyle \ch 2x=\ch^2x+\sh^2x=\dfrac{1+\th^2x}{1-\th^2x},$

$\displaystyle \th^2x=\dfrac{2\th x}{1+\th^2x}.$
Формулы понижения степеней:

$\displaystyle \ch^2x=\dfrac{\ch 2x+1}{2},$

$\displaystyle \sh^2x=\dfrac{\ch 2x-1}{2}.$