MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим два многочлена $ P_n(x),\ Q_m(x)$ степени $ n$ и $ m$ соответственно, т.е.

$\displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0,
$

$\displaystyle Q_m(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0,
$

предположим, что $ n\geq m$ .

При делении многочлена $ P_n(x)$ на многочлен $ Q_m(x)$ , где $ n\geq m$ , нужно найти многочлены $ R_{n-m}(x)$ и $ r_{m-1}(x)$ такие, чтобы выполнялось равенство

$\displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x).
$

Опишем метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основывается на том, что многочлен $ n$ -ой степени имеет ровно $ n$ корней с учетом их кратности. Это означает, что если многочлен обращается в нуль более чем в $ n$ точках, то этот многочлен нулевой (все коэффициенты равны нулю).

Запишем многочлены $ R_{n-m}(x)$ и $ r_{m-1}(x)$ с произвольными коэффициентами, т.е.

$\displaystyle R_{n-m}(x)=c_{n-m}x^{n-m}+c_{n-m-1}x^{n-m-1}+\ldots + c_0
$

и

$\displaystyle r_{m-1}(x)=d_{m-2}x^{m-2}+d_{m-3}x^{m-3}+\ldots + d_0.
$

Умножим и сложим многочлены в левой части равенства:

$\displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x),
$

получим

$\displaystyle (c_{n-m}x^{n-m}+c_{n-m-1}x^{n-m-1}+ \ldots +c_0)
(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)+
$

$\displaystyle +
d_{m-2}x^{m-2}+d_{m-3}x^{m-3}+\ldots+d_0=
$

$\displaystyle =
c_{n-m}b_mx^n+c_{n-m}b_{m-1}x^{n-1}+\ldots+c_0b_0+d_0=
$

$\displaystyle =
A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\ldots+A_0.
$

здесь приведены подобные, т.е. группировка по степеням $ x$ .

В итоге получим, что для любого значения переменной $ x$ выполняется равенство левой и правой частей. Это означает, что многочлен $ n$ -ой степени обращается в нуль более, чем в $ n$ точках. Для равенства нулю многочлена достаточно потребовать равенства нулю всех его коэффициентов.

Приравняем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях $ x$ в равенстве

$\displaystyle c_{n-m}b_mx^n+c_{n-m}b_{m-1}x^{n-1}+\ldots+c_0b_0+d_0=
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0
$

или

$\displaystyle A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\ldots+A_0=
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0.
$

Имеем систему линейных алгебраических уравнений:

$\displaystyle x^n:\quad A_n=c_{n-m}b_m=a_n;
$

$\displaystyle x^{n-1}:\quad A_{n-1}=a_{n-1};
$

$\displaystyle \dots
$

$\displaystyle x^0:\quad A_0=c_0b_0+d_0=a_0;
$

из которой определяются неизвестные коэффициенты.