Обратные гиперболические функции

Определим и опишем обратные гиперболические функции.

Обратные гиперболические функции:

Обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус $\sh(\rm Arsh x)=x$ :

$\displaystyle \rm Arsh x = \ln(x+\sqrt{x^2+1});$
Обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус $\ch(\rm arch x)=x$ , где $x\geq 1$ :

$\displaystyle \rm arch x = \ln(x+\sqrt{x^2-1});$
Обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс:

$\displaystyle \rm arth x=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$
Обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс:

$\displaystyle \rm arcth x=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1};$
Обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс:

$\displaystyle \rm arsch x=\pm\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{x};$
Обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс:

$\displaystyle \rm arcsch x= \left\{ \begin{array}{lcl} \ln\dfrac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},\ x<0;\\ \ln\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},\ x>0. \end{array} \right.$

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

$\displaystyle {\rm Arsh (x)} = -i\arcsin(-ix),$

$\displaystyle {\rm Arsh(ix)} = i\arcsin(x).$