MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Обратные гиперболические функции

Определим и опишем обратные гиперболические функции.

Обратные гиперболические функции:

  1. Обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус $ \sh(\rm Arsh x)=x$ :

    $\displaystyle \rm Arsh x = \ln(x+\sqrt{x^2+1});
$

  2. Обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус $ \ch(\rm arch x)=x$ , где $ x\geq 1$ :

    $\displaystyle \rm arch x = \ln(x+\sqrt{x^2-1});
$

  3. Обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс:

    $\displaystyle \rm arth x=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};
$

  4. Обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс:

    $\displaystyle \rm arcth x=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1};
$

  5. Обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс:

    $\displaystyle \rm arsch x=\pm\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{x};
$

  6. Обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс:

    $\displaystyle \rm arcsch x=
\left\{
\begin{array}{lcl}
\ln\dfrac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},\ x<0;\\
\ln\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},\ x>0.
\end{array}
\right.
$

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

$\displaystyle {\rm Arsh (x)} = -i\arcsin(-ix),$

$\displaystyle {\rm Arsh(ix)} = i\arcsin(x).$