Обратные тригонометрические функции и связь между ними

Обратные тригонометрические функции являются важным и сложным понятием, которое изучается в школьном курсе алгебры.

Обратные тригонометрические функции, также круговые функции или аркфункции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

Основные обратные тригонометрические функции:

Арксинус - .
Арксинусом числа , где $\vert a\vert\leq 1$ , называется такой угол , для которого $\sin x = a,$ где $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Функция $y~=~\arcsin x$ является строго возрастающей. Учтем, что

$\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\ \vert x\vert\leq 1,$

$\displaystyle \arcsin(\sin x) = x,\ \vert x\vert\leq \dfrac{\pi}{2}.$

Свойства функции $\arcsin x$ ;
1. $\arcsin(-x)=-\arcsin x$ ;
2. $\arcsin x= \left\{ \begin{array}{lcl} \arccos\sqrt{1-x^2},\ 0\leq x\leq 1;\\ -\arccos\sqrt{1-x^2}\ -1\leq x\leq 0; \end{array} \right.$
3. $\arcsin x= \left\{ \begin{array}{lcl} {\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\ 0... ... -{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\ -1\leq x<0; \end{array} \right.$
Арккосинус .
Арккосинусом числа называется такой угол , для которого $\cos x = a$ , где $0\leq x\leq$ , $\vert a\vert\leq 1$ . Функция $y = \arccos x$ является строго убывающей. Учтем, что

$\displaystyle \cos(\arccos x)=x,\ \vert x\vert\leq 1,$

$\displaystyle \arccos(\cos x) = x,\ 0\leq x \leq \pi.$

Свойства функции $\arccos x$ ;
1. $\arccos(-x)=\pi-\arccos x$ ;
2. $\arccos x= \left\{ \begin{array}{lcl} \arcsin\sqrt{1-x^2},\ 0\leq x\leq 1;\\ \pi-\arcsin\sqrt{1-x^2}\ -1\leq x\leq 0; \end{array} \right.$
3. $\arccos x= \left\{ \begin{array}{lcl} {\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\ 0... ...\pi+{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\ -1\leq x<0; \end{array} \right.$
Арктангенс (в иностранной литературе ).
Арктангенсом числа называется такой угол , для которого $\tg x = a$ , $\vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .
Функция $y={\rm arctg}\,x$ непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго возрастающей.
Свойства функции ${\rm arctg}\,x$ ;
1. $\tg({\rm arctg}\, x)=x,\ x\in \mathbb{R}$ ;
2. ${\rm arctg}(\tg x) = x,\ \vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .
Арккотангенс (в иностранной литературе или ).
Арккотангенсом числа называется такой угол , для которого $\ctg x = a,\ 0 < x < \pi$ .
Функция $y = {\rm arcctg}$ непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго убывающей.
Свойства функции ${\rm arcctg}\,x$ ;
1. ${\rm arctg}(-x) = \pi - {\rm arctg}\,xs,\ \vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .
2. ${\rm arcctg}\,x = \left\{ \begin{array}{clc} \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}... ...eq 0;\\ \pi - \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},\ x < 0. \end{array} \right.$
Арксеканс $\rm arcsec$ .
${\rm arcsec}\,x={\rm arccosec}\,\dfrac{1}{x}$ .
Арккосеканс $\rm arccosec$ (в иностранной литературе $\rm arccsc$ ).
${\rm arccosec}\,x={\rm arcsec}\,\dfrac{1}{x}$ .