MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Обратные тригонометрические функции и связь между ними

Обратные тригонометрические функции являются важным и сложным понятием, которое изучается в школьном курсе алгебры.

Обратные тригонометрические функции, также круговые функции или аркфункции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

Основные обратные тригонометрические функции:

  1. Арксинус - $ \arcsin$ .

    Арксинусом числа $ a$ , где $ \vert a\vert\leq 1$ , называется такой угол $ x$ , для которого $ \sin x = a,$ где $ x\in \left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Функция $ y~=~\arcsin x$ является строго возрастающей. Учтем, что

    $\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\ \vert x\vert\leq 1,
$

    $\displaystyle \arcsin(\sin x) = x,\ \vert x\vert\leq \dfrac{\pi}{2}.
$

    Свойства функции $ \arcsin x$ ;

    1. $ \arcsin(-x)=-\arcsin x$ ;
    2. $ \arcsin x=
\left\{
\begin{array}{lcl}
\arccos\sqrt{1-x^2},\ 0\leq x\leq 1;\\
-\arccos\sqrt{1-x^2}\ -1\leq x\leq 0;
\end{array}
\right.
$
    3. $ \arcsin x=
\left\{
\begin{array}{lcl}
{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\ 0...
...
-{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\ -1\leq x<0;
\end{array}
\right.
$
  2. Арккосинус $ \arccos$ .

    Арккосинусом числа $ a$ называется такой угол $ x$ , для которого $ \cos x = a$ , где $ 0\leq x\leq$ , $ \vert a\vert\leq 1$ . Функция $ y = \arccos x$ является строго убывающей. Учтем, что

    $\displaystyle \cos(\arccos x)=x,\ \vert x\vert\leq 1,
$

    $\displaystyle \arccos(\cos x) = x,\ 0\leq x \leq \pi.
$

    Свойства функции $ \arccos x$ ;

    1. $ \arccos(-x)=\pi-\arccos x$ ;
    2. $ \arccos x=
\left\{
\begin{array}{lcl}
\arcsin\sqrt{1-x^2},\ 0\leq x\leq 1;\\
\pi-\arcsin\sqrt{1-x^2}\ -1\leq x\leq 0;
\end{array}
\right.
$
    3. $ \arccos x=
\left\{
\begin{array}{lcl}
{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\ 0...
...\pi+{\rm arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\ -1\leq x<0;
\end{array}
\right.
$

  3. Арктангенс $ \rm arctg$ (в иностранной литературе $ \arctan$ ).

    Арктангенсом числа $ a$ называется такой угол $ x$ , для которого $ \tg x = a$ , $ \vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .

    Функция $ y={\rm arctg}\,x$ непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго возрастающей.

    Свойства функции $ {\rm arctg}\,x$ ;

    1. $ \tg({\rm arctg}\, x)=x,\ x\in \mathbb{R}$ ;
    2. $ {\rm arctg}(\tg x) = x,\ \vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .

  4. Арккотангенс $ \rm arcctg$ (в иностранной литературе $ \rm arccot$ или $ \rm arccotan$ ).

    Арккотангенсом числа $ a$ называется такой угол $ x$ , для которого $ \ctg x = a,\ 0 < x < \pi$ .

    Функция $ y = {\rm arcctg}$ непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго убывающей.

    Свойства функции $ {\rm arcctg}\,x$ ;

    1. $ {\rm arctg}(-x) = \pi - {\rm arctg}\,xs,\ \vert x\vert<\dfrac{\pi}{2}$ .
    2. $ {\rm arcctg}\,x =
\left\{
\begin{array}{clc}
\arcsin\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}...
...eq 0;\\
\pi - \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},\ x < 0.
\end{array}
\right.
$

  5. Арксеканс $ \rm arcsec$ .

    $ {\rm arcsec}\,x={\rm arccosec}\,\dfrac{1}{x}$ .

  6. Арккосеканс $ \rm arccosec$ (в иностранной литературе $ \rm arccsc$ ).

    $ {\rm arccosec}\,x={\rm arcsec}\,\dfrac{1}{x}$ .

Существуют два основных соотношения между обратными функциями:

$\displaystyle \arcsin x+\arccos x = \dfrac{\pi}{2},
$

$\displaystyle {\rm arctg}\,x + {\rm arcctg}\,x = \dfrac{\pi}{2}.
$