MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Логарифм

Рассмотрим функцию, которая является обратной к показательной, что это означает будет показано и объяснено позже.

Предположим, что есть следующее равенство:

$\displaystyle c = a^b,
$

где $ a$ , $ b$ и $ c$ -- вещественные числа, такие что $ a>0,\ a \ne 1$ , $ b\in \mathbb{R}$ , следовательно, $ c>0$ (свойства степеней).

Задача состоит в следующем: пусть известны два любых числа из трех чисел ($ a$ , $ b$ и $ c$ ), необходимо найти третье (неизвестное) число, если все они связаны данным равенством.

Возможны три случая:

  1. Числа $ a$ и $ b$ известны, тогда число $ c$ определяется согласно пункту работы со степенями;
  2. Числа $ c$ и $ b$ известны, тогда число $ a$ определяется согласно пункту работы со степенями;
  3. Числа $ a$ и $ c$ известны, определение числа $ b$ остается под вопросом.

В данном разделе подробно рассматривается третий случай, т.е. нахождение числа $ b$ по известным $ a$ и $ c$ .

Для числа $ b$ введено обозначение (во всех странах мира):

$\displaystyle b = \log_ac.
$

Данное выражение читается следующим образом: число $ b$ равно логарифму числа $ c$ по основанию $ a$ . Это означает, что $ b$ -- это число, в какую степень нужно возвести $ a$ , чтобы получить $ c$ .

Здесь $ a$ -- это основание логарифма, $ c$ -- это подлогарифмическое выражение, $ b$ -- это значение логарифма.

Ограничения на логарифм: $ a>0,\ a \ne 1$ , $ c>0$ .

Замечание. В дальнейшем, не обращая особого внимание, будем предполагать, что основание логарифма отлично от единицы, т.е. $ a\ne 1$ .