MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Полезные логарифмические формулы

Основываясь на свойствах логарифма приведем еще ряд полезных формул:

  1. $\displaystyle \log_{a^c}b^d=\frac{d}{c}\log_ab;
$

  2. $\displaystyle \log_{a^c}b^c=\log_ab;
$

  3. $\displaystyle \log_ab=\frac{1}{\log_ba};
$

  4. $\displaystyle a^{\log_cd}=d^{\log_ca}.
$

    Данное свойство не очень очевидно, поэтому рассмотрим его более подробно.

    Возьмем логарифм по основанию $ a$ от обеих частей равенства, получим:

    $\displaystyle \log_aa^{\log_cd}=\log_ad^{\log_ca} \Rightarrow
(\log_cd)\log_aa=(\log_ca)\log_ad \Rightarrow
$

    $\displaystyle \log_cd=(\log_ca)\log_ad \Rightarrow
\log_ad=\frac{\log_cd}{\log_ca}=\log_ad.
$

    Здесь использовали следующие свойства: вынос степени из-под логарифма, переход к новому основанию.

В литературе часто встречаются следующие обозначения:

  1. Двоичный логарифм:

    $\displaystyle \log_{2}a=\log a.
$

  2. Натуральный логарифм:

    $\displaystyle \log_ea=\ln a,
$

    где $ e\approx 2.718 281 828 459\ldots$ .
  3. Десятичный логарифм:

    $\displaystyle \log_{10}a=\lg a.
$