MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Основные множества

Приведем основные множества, которые изучались и разбирались в школьном курсе алгебры.

Основные множества:

  1. $ \mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$ -- множество натуральных чисел;
  2. $ \mathbb{Z}= \{0,\pm n: n\in \mathbb{N}\}$ -- множество целых чисел;
  3. $ \mathbb{Q} = \left\{\dfrac{m}{n}:m\in \mathbb{Z},\ n\in \mathbb{N}\right\}$ -- множество рациональных чисел;
  4. $ \mathbb{R}$ -- множество вещественных (действительных) чисел;
  5. $ \mathbb{I} = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ -- множество иррациональных чисел;
  6. $ \mathbb{C} = \{a+ib:i=\sqrt{-1},a,b\in \mathbb{R}\}$ -- множество комплексных чисел.

    Здесь $ i=\sqrt{-1}$ -- мнимая единица;

  7. $ \mathbb{T}$ -- множество трансцендентных чисел.

    Трансцендентное число -- это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, т.е число, не являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами.

Замечание. Множество комплексных чисел $ \mathbb{C}$ подробно не рассматривается в школьном курсе алгебры. Здесь можно ознакомиться с основами множества  $ \mathbb{C}$ : определение, основные понятия, элементы множества и действия над ними.

Замечание. Множество трансцендентных чисел $ \mathbb{T}$ подробно не рассматривается в школьном курсе алгебры, а лишь обозначается и говорится, что есть такое множество и указываются числа этого множества - $ \pi$ , $ e$ .

Рассмотрим вопрос о том, как между собой связаны (располагаются) введенные основные множества. Видно, что, например, множество целых чисел определяется через множество натуральных. Получаем, что множество $ \mathbb{Z}$ содержит в себе множество $ \mathbb{N}$ , т.е. $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ .

Рассуждая аналогичным образом, получаем следующую цепочку вложений (принадлежности) множеств:

$\displaystyle \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset
\mathbb{R}\subset \mathbb{C},
$

$\displaystyle \mathbb{I}\subset \mathbb{R}.
$

Рассмотрим подробнее множество иррациональных чисел.

Иррациональное число -— это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби  $ \dfrac{m}{n}$ , где $ m$ — целое число (из $ \mathbb{Z}$ ), $ n$ — натуральное число (из $ \mathbb{N}$ ).