MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Четырехугольники

  1. Формула площади произвольного четырехугольника: $ S=\frac12d_1d_2\sin\alpha$ ($ d_i$ -- диагонали, $ \alpha$ -- угол между диагоналями).
  2. Формула площади четырехугольника, описанного вокруг окружности: $ S=pr$ ($ p$ -- полупериметр, $ r$ -- радиус вписанной окружности).
  3. Формула площади параллелограмма $ ABCD$ : $ S=AB\cdot BC\sin(\angle ABC)=AB\cdot h$ .
  4. Формула площади трапеции $ ABCD$ : $ S=\dfrac12(AD+BC)h$ .

Теорема.

  1. Выпуклый четырехугольник $ ABCD$ описан вокруг окружности тогда и только тогда, когда $ AB+CD=BC+AD$ , т.е. суммы противоположных сторон равны.
  2. Выпуклый четырехугольник $ ABCD$ вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $ \pi$ .
  3. Выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если и только если его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
  4. Если $ ABCD$ является параллелограммом, то $ AC^2+BD^2=2(AD^2+AB^2)$ , т.е. сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон .
  5. Параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны.
  6. Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда ее можно вписать в окружность.
  7. Периметр равнобедренной трапеции, описанной вокруг окружности, равен удвоенной боковой стороне.
  8. Параллелограмм описан вокруг некоторой окружности тогда и только тогда, когда он является ромбом.
  9. Вокруг параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.
  10. Ромб вписан в некоторую окружность, если и только если он есть квадрат.
  11. У прямоугольника две смежные стороны равны тогда и только тогда, когда он является квадратом.
  12. Высота окружности, описанной вокруг окружности, равна диаметру.