MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Окружности

  1. Формула площади сектора, ограниченного центральным углом $ \alpha$ : $ S=\dfrac12 r^2\alpha$ .
  2. Формула площади сегмента, ограниченного хордой, опирающейся на дугу $ \alpha$ : $ S=\dfrac12 r^2(\alpha-\sin\alpha)$ .
  3. Длина дуги равна $ r\alpha$ .

Теорема.

  1. Касательные, проведенные из одной точки, равны.
  2. Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Верно и обратно, т.е., если равенство верно, прямая является касательной.
  3. Если из одной точки к окружности проведены несколько секущих, то произведение каждой секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная. Верно и обратно, т.е. пусть дано два луча, выходящих из одной точки $ O$ . На каждом из луче взято по две точки, $ A$ и $ B$ на первом и $ C$ и $ D$ на втором, причем точки $ A$ и $ C$ находятся ближе к $ O$ чем $ B$ и $ D$ . Тогда точки $ A,\,B,\,C,\,D$ лежат на одной окружности, если и только если $ OB\cdot OA=OD\cdot OC$ .
  4. Произведения отрезков каждой из двух пересекающихся хорд равны.
  5. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Поэтому вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
  6. Параллельные прямые высекают на окружности равные дуги.
  7. Угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен половине дуги, содержащейся внутри угла.
  8. Каждый из двух вертикальных углов между пересекающимися хордами равен полусумме двух дуг, на которые они опираются.
  9. Угол между секущими равен полуразности двух дуг, на которые он опирается.
  10. Если существует окружность, вписанная в многоугольник, то центр лежит в точке пересечения всех биссектрис этого многоугольника.
  11. Если существует окружность, описанная около многоугольника, то ее центр лежит в точке пересечения всех серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
  12. Окружности радиусов $ R$ и $ r$ касаются внешним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно $ R+r$ .
  13. Окружности радиусов $ R$ и $ r$ касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно $ R-r$ .