MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Треугольники

  1. Формулы площади: $ S=\dfrac12ah_a=pr=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac12ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ .
  2. Теорема косинусов: $ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .
  3. Теорема синусов: $ \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ .
  4. Если треугольники подобны и $ k$ -- коэффициент подобия, то отношение площадей равно $ k^2$ , а периметров -- $ k$ .
  5. Формула медианы: $ m_a=\dfrac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ .
  6. Формула биссектрисы: $ l_a=\dfrac{2bc\cos\dfrac A2}{b+c}=\dfrac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}=\sqrt{bc-xy}$ , где $ x$ и $ y$ -- части стороны $ BC$ , на которые их делит биссектриса.

Теорема[Менелая.] Пусть дан треугольник $ \triangle ABC$ . Предположим, что точка $ C_1$ лежит на стороне $ AB$ , $ A_1$ -- на $ BC$ , а $ B_1$ -- на продолжении стороны $ AC$ .

$\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\frac{BA_1}{A_1C}\frac{CB_1}{B_1A}=1
$

тогда и только тогда, когда точки $ A_1,\ B_1,\ C_1$ лежат на одной прямой.

Теорема[Чевы.] Пусть точки $ A_1,\ B_1,\ C_1$ лежат соответственно на сторонах $ BC,\, AC,\, AB$ треугольника $ \triangle ABC$ .

$\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B}\frac{BA_1}{A_1C}\frac{CB_1}{B_1A}=1
$

тогда и только тогда, когда отрезки $ AA_1,\ BB_1$ и $ CC_1$ пересекаются в одной точке.