Формулы для многочленов и операции над многочленами

Напомним какое выражение называется многочленом.

Одночленом степени (здесь $k\in \mathbb{N}$ ) называется следующее выражение

$\displaystyle a_{k}x^k,$

где $a_k\in \mathbb{R}$ -- коэффициент,

- переменная.

Многочленом - ой степени (здесь $n\in \mathbb{N}$ ) с вещественными коэффициентами $a_i,\ i=0,1,\ldots,n$ называется следующее выражение:

$\displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0,$

здесь $x\in \mathbb{R}$ - переменная. Можно сказать, что многочлен - это линейная комбинация одночленнов разных степеней.

Операции над многочленами:

Пусть $P_n(x),\ Q_m(x)$ два многочлена степени и соответственно, т.е.

$\displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0,$

$\displaystyle Q_n(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0,$

предположим, что $n\geq m$ .

Сумма и разность многочленов: $P_n(x)\pm Q_n(x)$ .
Суммой и разностью многочленов и называется следующий многочлен:

$\displaystyle R_n(x)=P_n(x)\pm Q_m(x)=$

$\displaystyle = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+(a_m\pm b_m)x^m+(a_{m-1}\pm b_{m-1})x^{m-1}+a_0\pm b_0.$

Степень полученного многочлена не превосходит максимальной степени многочленов и .
Умножение на одночлен: .
Умножим одночлен на многочлен :

$\displaystyle a_kx^kP_n(x)=a_kx^k(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0)=$

$\displaystyle = a_ka_nx^{n+k}+a_ka_{n-1}x^{n-1+k}+\ldots+a_ka_0x^k,$

т.е. каждый член многочлена умножается на одночлен. Здесь применяем правило работы со степенями.
Умножение многочленов: .
Умножим многочлен на :

$\displaystyle P_n(x)Q_m(x)=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0) (b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)=$

$\displaystyle = a_nx^n(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)+ a_{n-1}x^{n-1}(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)+$

$\displaystyle +\ldots+ a_0(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0).$

В итоге свели операцию умножения многочленов к умножению одночлена на многочлен. Заметим, что при умножении многочленов степени и получается многочлен степени . При умножении многочленов необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Деление многочленов: $\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ .
Разделим многочлен на , т.е. представим выражение $\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ в следующем виде:

$\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=R_{n-m}(x)+\frac{r_{m-1}(x)}{Q_m(x)},$

где $R_{n-m}(x)$ -- частное от деления, -- делимое, -- делитель, $r_{m-1}(x)$ -- остаток.
При делении многочлена на многочлен , где $n\geq m$ , нужно найти многочлены $R_{n-m}(x)$ и $r_{m-1}(x)$ такие, чтобы выполнялось равенство

$\displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x).$

Существует много способов поиска таких многочленов. В основном используются школьные способы, а именно, деление "уголком" ("столбиком") и метод неопределенных коэффициентов (будут рассмотрены ниже).