MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Формулы для многочленов и операции над многочленами

Напомним какое выражение называется многочленом.

Одночленом степени $ k$ (здесь $ k\in \mathbb{N}$ ) называется следующее выражение

$\displaystyle a_{k}x^k,
$

где $ a_k\in \mathbb{R}$ -- коэффициент, $ x$ - переменная.

Многочленом $ n$ - ой степени (здесь $ n\in \mathbb{N}$ ) с вещественными коэффициентами $ a_i,\ i=0,1,\ldots,n$ называется следующее выражение:

$\displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0,
$

здесь $ x\in \mathbb{R}$ - переменная. Можно сказать, что многочлен - это линейная комбинация одночленнов разных степеней.

Операции над многочленами:

Пусть $ P_n(x),\ Q_m(x)$ два многочлена степени $ n$ и $ m$ соответственно, т.е.

$\displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0,
$

$\displaystyle Q_n(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0,
$

предположим, что $ n\geq m$ .

  1. Сумма и разность многочленов: $ P_n(x)\pm Q_n(x)$ .

    Суммой и разностью многочленов $ P_n(x)$ и $ Q_n(x)$ называется следующий многочлен:

    $\displaystyle R_n(x)=P_n(x)\pm Q_m(x)=
$

    $\displaystyle =
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+(a_m\pm b_m)x^m+(a_{m-1}\pm b_{m-1})x^{m-1}+a_0\pm b_0.
$

    Степень полученного многочлена $ R_n(x)$ не превосходит максимальной степени многочленов $ P_n(x)$ и $ Q_m(x)$ .
  2. Умножение на одночлен: $ a_kx^kP_n(x)$ .

    Умножим одночлен $ a_kx^k$ на многочлен $ P_n(x)$ :

    $\displaystyle a_kx^kP_n(x)=a_kx^k(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0)=
$

    $\displaystyle =
a_ka_nx^{n+k}+a_ka_{n-1}x^{n-1+k}+\ldots+a_ka_0x^k,
$

    т.е. каждый член многочлена умножается на одночлен. Здесь применяем правило работы со степенями.
  3. Умножение многочленов: $ P_n(x)Q_m(x)$ .

    Умножим многочлен $ P_n(x)$ на $ Q_m(x)$ :

    $\displaystyle P_n(x)Q_m(x)=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0)
(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)=
$

    $\displaystyle =
a_nx^n(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)+
a_{n-1}x^{n-1}(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0)+
$

    $\displaystyle +\ldots+
a_0(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_0).
$

    В итоге свели операцию умножения многочленов к умножению одночлена на многочлен. Заметим, что при умножении многочленов степени $ n$ и $ m$ получается многочлен степени $ (n+m)$ . При умножении многочленов необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

  4. Деление многочленов: $ \dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ .

    Разделим многочлен $ P_n(x)$ на $ Q_m(x)$ , т.е. представим выражение $ \dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ в следующем виде:

    $\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=R_{n-m}(x)+\frac{r_{m-1}(x)}{Q_m(x)},
$

    где $ R_{n-m}(x)$ -- частное от деления, $ P_n(x)$ -- делимое, $ Q_m(x)$ -- делитель, $ r_{m-1}(x)$ -- остаток.

    При делении многочлена $ P_n(x)$ на многочлен $ Q_m(x)$ , где $ n\geq m$ , нужно найти многочлены $ R_{n-m}(x)$ и $ r_{m-1}(x)$ такие, чтобы выполнялось равенство

    $\displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x).
$

    Существует много способов поиска таких многочленов. В основном используются школьные способы, а именно, деление "уголком" ("столбиком") и метод неопределенных коэффициентов (будут рассмотрены ниже).