Формулы для преобразования степеней

Практически всегда, решая математическую задачу, необходимо преобразовывать степени различных выражений, например, перемножение многочленов, нахождение нулей уравнений (нелинейных), преобразование тригонометрических выражений и т.д. В этом разделе описаны основные правила работы со степенями. Приведенные ниже формулы являются достаточно простыми и изучаются в школе (

класс).

Рассмотрим произвольное вещественное число .

Возведение числа в натуральную степень.
По определению, чтобы возвести число в натуральную степень необходимо раз умножить число само на себя, т.е.

$\displaystyle a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \mbox{раз}}.$
Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-1).
По определению, чтобы возвести не нулевое число в отрицательную степень нужно найти такое число, обозначим его через $a^{-1}$ , чтобы выполнялось равенство:

$\displaystyle a^{-1}a=aa^{-1}=1.$

Найденное число $a^{-1}$ называется обратным к . Записи $a^{-1}$ и $\dfrac{1}{a}$ эквивалентны, т.е. обратное к не нулевому числу обозначается через $\dfrac{1}{a}$ .
Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-n).
Допустим, что степень отрицательная, т.е. , где $n\in \mathbb{N}$ , то это означает, что

$\displaystyle a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n= \underbrace{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{a}\cdot\ldots\cdot\dfrac{1}{a}}_{n\ \mbox{раз}}= \dfrac{1}{a^n}.$

Здесь есть возможность делать двумя способами: найти обратное число к и возвести его в -ую степень и получить ответ, или возвести число в -ую степень и потом найти к полученному числу обратное, это и будет ответ.
Формулы работы со степенями.
Хорошо известны следующие формулы работы со степенями (приводим без доказательства)

$\displaystyle a^na^m=a^{n+m},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z};$

$\displaystyle (a^n)^m=a^{nm},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z};$

$\displaystyle a^nb^n=(ab)^{n},\ a,b\in \mathbb{R},\ n\in \mathbb{Z}.$
Корень из неотрицательного числа.
По определению корнем степени из числа называется такое число , -ая степень которого равна .
Корень -ой степени из числа обозначается как

$\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}.$

Получаем, что $b = \sqrt[n]{a}$ такое, что .
Возведение в рациональную степень.
Рассмотрим случай, когда степень является рациональным числом, т.е. $\dfrac{m}{n}$ . Учтем предыдущие рассуждения, получим:

$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=(a^\frac{1}{n})^m,$

здесь $a^\frac{1}{n}$ -- -ый корень из , который определяется следующим образом: необходимо найти такое число , что .
Выпишем основные формулы:
1. $a^0=1,\ a\ne 0$ ;
2. ;
3. $a^{-1}=\dfrac{1}{a},\ a\ne 0$ ;
4. $a^na^m=a^{n+m},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z}$ ;
5. $(a^n)^m=a^{nm},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z}$ ;
6. $a^nb^n=(ab)^{n},\ a,b\in \mathbb{R},\ n\in \mathbb{Z}$ .