MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Формулы для преобразования степеней

Практически всегда, решая математическую задачу, необходимо преобразовывать степени различных выражений, например, перемножение многочленов, нахождение нулей уравнений (нелинейных), преобразование тригонометрических выражений и т.д. В этом разделе описаны основные правила работы со степенями. Приведенные ниже формулы являются достаточно простыми и изучаются в школе ($ 7$ , $ 8$ класс).

Рассмотрим произвольное вещественное число $ a$ .

  1. Возведение числа в натуральную степень.

    По определению, чтобы возвести число $ a$ в натуральную степень $ n$ необходимо $ n$ раз умножить число $ a$ само на себя, т.е.

    $\displaystyle a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \mbox{раз}}.
$

  2. Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-1).

    По определению, чтобы возвести не нулевое число $ a$ в отрицательную степень $ (-1)$ нужно найти такое число, обозначим его через $ a^{-1}$ , чтобы выполнялось равенство:

    $\displaystyle a^{-1}a=aa^{-1}=1.
$

    Найденное число $ a^{-1}$ называется обратным к $ a$ . Записи $ a^{-1}$ и $ \dfrac{1}{a}$ эквивалентны, т.е. обратное к не нулевому числу $ a$ обозначается через $ \dfrac{1}{a}$ .

  3. Возведение не нулевого числа в отрицательную степень, равную (-n).

    Допустим, что степень отрицательная, т.е. $ (-n)$ , где $ n\in \mathbb{N}$ , то это означает, что

    $\displaystyle a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n=
\underbrace{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{a}\cdot\ldots\cdot\dfrac{1}{a}}_{n\ \mbox{раз}}=
\dfrac{1}{a^n}.
$

    Здесь есть возможность делать двумя способами: найти обратное число к $ a$ и возвести его в $ n$ -ую степень и получить ответ, или возвести число $ a$ в $ n$ -ую степень и потом найти к полученному числу обратное, это и будет ответ.

  4. Формулы работы со степенями.

    Хорошо известны следующие формулы работы со степенями (приводим без доказательства)

    $\displaystyle a^na^m=a^{n+m},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z};
$

    $\displaystyle (a^n)^m=a^{nm},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z};
$

    $\displaystyle a^nb^n=(ab)^{n},\ a,b\in \mathbb{R},\ n\in \mathbb{Z}.
$

  5. Корень из неотрицательного числа.

    По определению корнем степени $ n$ из числа $ a$ называется такое число $ b$ , $ n$ -ая степень которого равна $ a$ .

    Корень $ n$ -ой степени из числа $ a$ обозначается как

    $\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}.
$

    Получаем, что $ b = \sqrt[n]{a}$ такое, что $ b^n = a$ .

  6. Возведение в рациональную степень.

    Рассмотрим случай, когда степень является рациональным числом, т.е.  $ \dfrac{m}{n}$ . Учтем предыдущие рассуждения, получим:

    $\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=(a^\frac{1}{n})^m,
$

    здесь $ a^\frac{1}{n}$ -- $ n$ -ый корень из $ a$ , который определяется следующим образом: необходимо найти такое число $ b$ , что $ b^n = a$ .

  7. Выпишем основные формулы:

    1. $ a^0=1,\ a\ne 0$ ;
    2. $ a^1 = a$ ;
    3. $ a^{-1}=\dfrac{1}{a},\ a\ne 0$ ;
    4. $ a^na^m=a^{n+m},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z}$ ;
    5. $ (a^n)^m=a^{nm},\ a\in \mathbb{R},\ n,m\in \mathbb{Z}$ ;
    6. $ a^nb^n=(ab)^{n},\ a,b\in \mathbb{R},\ n\in \mathbb{Z}$ .

Замечание. Во всех примерах подразумевается, что операции корректны (извлечение корня, деление на число и т.д.).