MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Множества и операции над множествами

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами $ A,\ B,\ C,\ldots$ , а элементы множества строчными латинскими буквами $ a,\ b,\ c,\ldots$ .

Запись $ A=\{a,b,\ldots: F(a,b,\ldots)=0\}$ означает, что есть множество $ A$ с элементами $ a,b,\ldots$ , которые связаны между собой какой-то функцией $ F(a,b,\ldots)=0$ .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

  1. Принадлежность элемента множеству:

    $\displaystyle a\in A,
$

    где $ a$ -- элемент и $ A$ -- множество (элемент $ a$ принадлежит множеству $ A$ ).
  2. Непринадлежность элемента множеству:

    $\displaystyle a\not\in A,
$

    где $ a$ -- элемент и $ A$ -- множество (элемент $ a$ не принадлежит множеству $ A$ ).
  3. Объединение множеств: $ A\bigcup B$ .

    Объединением двух множеств $ A$ и $ B$ называется множество $ C$ , которое состоит из элементов множеств $ A$ и $ B$ , т.е.

    $\displaystyle C = A\bigcup B =
\{c:c\in A\ $   или$\displaystyle \ c\in B\}.
$

  4. Пересечение множеств: $ A\bigcap B$ .

    Пересечением двух множеств $ A$ и $ B$ называется множество $ C$ , которое состоит из общих элементов множеств $ A$ и $ B$ , т.е.

    $\displaystyle C = A\bigcap B =
\{c:c\in A\ $   и$\displaystyle \ c\in B\}.
$

  5. Разность множеств: $ A \setminus B$ .

    Разностью двух множеств $ A$ и $ B$ , например, множество $ A$ минус множество $ B$ , называется множество $ C$ , которое состоит из элементов множества $ A$ , которых нет в множестве $ B$ , т.е.

    $\displaystyle C = A \setminus B =
\{c:c\in A\ $   и$\displaystyle \ c\not\in B\}.
$

  6. Симметрическая разность множеств: $ A \bigtriangleup B = (A\setminus B)\bigcup(B\setminus A)$ .

    Симметрической разностью двух множеств $ A$ и $ B$ называется множество $ C$ , которое состоит из не общих элементов множеств $ A$ и $ B$ , т.е.

    $\displaystyle C= A \bigtriangleup B =
\left\{c:c\in \left(A\bigcup B\right)\ \mbox{и}\
c\not\in \left(A \bigcap B\right)\right\}.
$

  7. Дополнение множества: $ C_uA=\bar{A}$ .

    Если предположим, что множество $ A$ является подмножеством некоторого универсального множества $ U$ , тогда определяется операция дополнения:

    $\displaystyle C_uA=\bar{A} = U\setminus A \equiv \{a: a\in U\ $   и$\displaystyle \ a\not\in A \}.
$

  8. Вхождение одного множества в другое множество: $ A \subset B$ .

    Если любой элемент множества $ A$ является элементом множества $ B$ , то говорят, что множество $ A$ есть подмножество множества $ B$ (множество $ A$ входит в множество $ B$ ).

  9. Не вхождение одного множества в другое множество: $ A \not\subset B$ .

    Если существует элемент множества $ A$ , который не является элементом множества $ B$ , то говорят, что множество $ A$ не подмножество множества $ B$ (множество $ A$ не входит в множество $ B$ ).