MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов

Рассмотрим несколько интересных примеров решения неопределенных интегралов. Данные неопределенные интегралы встречаются достаточно часто в своих частных случаях, например, при интегрировании рациональных дробей. Хорошо известно, что рациональная дробь раскладывается в суммы простых дробей, которые интегрируются в общем случае.

Здесь рассматриваются несколько таких общих дробей и способы их интегрирования.

Пример 1 - вычислить неопределенный интеграл

Хорошо известны неопределенные интегралы следующего вида:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{(x^2+a^2)^n},\ \ n\in \mathbb{N}.
$

Данный неопределенный интеграл сводится к рассмотренному в разделе реккурентные формулы для интегрирования неопределенному интегралу. Покажем, как можно интеграл преобразовать к уже рассмотренному интегралу.

Сделаем линейную замену переменных в интеграле

$\displaystyle \begin{array}{c}
x = at \Rightarrow\\
dx=d(at)\Rightarrow\\
dx=adt,
\end{array}
$

теперь с помощью линейной замены избавимся от переменной $ x$ в исходном интеграле.

Получаем, что интеграл преобразуется следующим образом:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{(x^2+a^2)^n}=
\int\dfrac{adt}{(a^2t^2+a^2)^n}=
\frac{1}{a^{2n-1}}\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^n}.
$

Далее применяем способ рассмотренный ранее (интегрирование специальным способом) и делая обратную замену переменных, получаем ответ.

При $ n=1$ получаем хорошо известный табличный неопределенный интеграл, который равен арктангенсу.

Пример 2 - вычислить неопределенный интеграл

Рассмотрим неопределенный интеграл вида:

$\displaystyle \int\dfrac{(ax+b)dx}{(x+c)^2+d^2}.
$

Данный интеграл встречается очень часто, в основном при интегрировании рациональных функций, и хорошо известен.

Преобразуем неопределенный интеграл:

$\displaystyle \int\dfrac{(ax+b)d\,x}{(x+c)^2+f^2} =
\int\dfrac{(a(x+c-c)+b)d\,...
...
\int\dfrac{a(x+c)d\,x}{(x+c)^2+f^2} +
\int\dfrac{(b-ac)d\,x}{(x+c)^2+f^2}=
$

$\displaystyle =
a\int\dfrac{(x+c)dx}{(x+c)^2+f^2} +
(b-ac)\int\dfrac{d\,x}{(x+c)^2+f^2}.
$

Рассмотрим по отдельности каждый из неопределенных интегралов.

Сделаем общую замену переменных в первом интеграле:

$\displaystyle \begin{array}{c}
t = (x+c)^2+f^2;\\
d\,t = d\,((x+c)^2+f^2);\\...
...rime d\,x;\\
d\,t = 2(x+c)d\,x;\\
d\,x=\dfrac{d\,t}{2(x+c)},
\end{array}
$

получаем (избавляясь от переменной $ x$ в неопределенном интеграле)

$\displaystyle \int\dfrac{(x+c)d\,x}{(x+c)^2+f^2} =
\int\dfrac{d\,t}{2t}=\dfrac{1}{2}\ln\vert t\vert+C=
\dfrac{1}{2}\ln((x+c)^2+f^2)+C.
$

Второй неопределенный интеграл есть табличный:

$\displaystyle \int\dfrac{d\,x}{(x+c)^2+f^2} =
\dfrac{1}{d}\arctg\dfrac{x+c}{f} + C.
$

Подставляя полученные выражения для каждого из неопределенных интегралов в исходный интеграл, получаем:

$\displaystyle \int\dfrac{(ax+b)d\,x}{(x+c)^2+f^2}=
\dfrac{a}{2}\ln((x+c)^2+f^2) +
\dfrac{(b-ac)}{f}\arctg\dfrac{x+c}{f} + C.
$

Рассмотрим характерный пример при $ a=0$ . Получаем решение неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int\dfrac{bd\,x}{(x+c)^2+f^2}=
\dfrac{b}{d}\arctg\dfrac{x+c}{f} + C.
$

Пример 3 - вычислить неопределенный интеграл

Интегралы вида:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^n+a^n},\ $   где$\displaystyle \ n\in \mathbb{N}.
$

Данный интеграл встречается очень часто (при конкретных знаяениях степени $ n$ ), в основном при интегрировании рациональных функций, и хорошо известен.

Сделаем замену линейную замену переменных в интеграле

$\displaystyle \begin{array}{c}
x = at \Rightarrow\\
dx=d(at)\Rightarrow\\
dx=adt,
\end{array}
$

теперь с помощью линейной замены избавимся от переменной $ x$ в исходном интеграле.

Получаем, что интеграл преобразуется следующим образом:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^n+a^n}=
\int\dfrac{adt}{a^nt^n+a^n}=
\dfrac{1}{a^{n-1}}\int\dfrac{dt}{t^n+1}.
$

Один из способов вычисления данного неопределенного интеграла основывается на том, что решение уравнения $ x^n+1=0$ выписывается в явном виде (над полем комплексных чисел $ \mathbb{C}$ ) и еще на паре свойств этого решения, о которых будет сказано позже. Этот способ рассматривался выше. Было получено:

$\displaystyle \frac{1}{x^n+1} =
\left\{
\begin{array}{c}
\sum\limits_{l=0}^{...
..._{l=0}^{k-1}\dfrac{A_lx+B_l}{x^2-2a_lx+1},\ n = 2k + 1;
\end{array}
\right.
$

Далее, выделяя полный квадрат в знаменателе, применяя результаты из предыдущих примеров, получаем ответ.