Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов

Рассмотрим несколько интересных примеров решения неопределенных интегралов. Данные неопределенные интегралы встречаются достаточно часто в своих частных случаях, например, при интегрировании рациональных дробей. Хорошо известно, что рациональная дробь раскладывается в суммы простых дробей, которые интегрируются в общем случае.

Здесь рассматриваются несколько таких общих дробей и способы их интегрирования.

Пример 1 - вычислить неопределенный интеграл

Хорошо известны неопределенные интегралы следующего вида:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{(x^2+a^2)^n},\ \ n\in \mathbb{N}.$

Данный неопределенный интеграл сводится к рассмотренному в разделе реккурентные формулы для интегрирования неопределенному интегралу. Покажем, как можно интеграл преобразовать к уже рассмотренному интегралу.

Сделаем линейную замену переменных в интеграле

$\displaystyle \begin{array}{c} x = at \Rightarrow\\ dx=d(at)\Rightarrow\\ dx=adt, \end{array}$

теперь с помощью линейной замены избавимся от переменной

в исходном интеграле.

Получаем, что интеграл преобразуется следующим образом:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{(x^2+a^2)^n}= \int\dfrac{adt}{(a^2t^2+a^2)^n}= \frac{1}{a^{2n-1}}\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^n}.$

Далее применяем способ рассмотренный ранее (интегрирование специальным способом) и делая обратную замену переменных, получаем ответ.

При получаем хорошо известный табличный неопределенный интеграл, который равен арктангенсу.

Пример 2 - вычислить неопределенный интеграл

Рассмотрим неопределенный интеграл вида:

$\displaystyle \int\dfrac{(ax+b)dx}{(x+c)^2+d^2}.$

Данный интеграл встречается очень часто, в основном при интегрировании рациональных функций, и хорошо известен.

Преобразуем неопределенный интеграл:

$\displaystyle \int\dfrac{(ax+b)d\,x}{(x+c)^2+f^2} = \int\dfrac{(a(x+c-c)+b)d\,... ... \int\dfrac{a(x+c)d\,x}{(x+c)^2+f^2} + \int\dfrac{(b-ac)d\,x}{(x+c)^2+f^2}=$

$\displaystyle = a\int\dfrac{(x+c)dx}{(x+c)^2+f^2} + (b-ac)\int\dfrac{d\,x}{(x+c)^2+f^2}.$

Рассмотрим по отдельности каждый из неопределенных интегралов.

Сделаем общую замену переменных в первом интеграле:

$\displaystyle \begin{array}{c} t = (x+c)^2+f^2;\\ d\,t = d\,((x+c)^2+f^2);\\... ...rime d\,x;\\ d\,t = 2(x+c)d\,x;\\ d\,x=\dfrac{d\,t}{2(x+c)}, \end{array}$

получаем (избавляясь от переменной

в неопределенном интеграле)

$\displaystyle \int\dfrac{(x+c)d\,x}{(x+c)^2+f^2} = \int\dfrac{d\,t}{2t}=\dfrac{1}{2}\ln\vert t\vert+C= \dfrac{1}{2}\ln((x+c)^2+f^2)+C.$

Второй неопределенный интеграл есть табличный:

$\displaystyle \int\dfrac{d\,x}{(x+c)^2+f^2} = \dfrac{1}{d}\arctg\dfrac{x+c}{f} + C.$

Подставляя полученные выражения для каждого из неопределенных интегралов в исходный интеграл, получаем:

$\displaystyle \int\dfrac{(ax+b)d\,x}{(x+c)^2+f^2}= \dfrac{a}{2}\ln((x+c)^2+f^2) + \dfrac{(b-ac)}{f}\arctg\dfrac{x+c}{f} + C.$

Рассмотрим характерный пример при . Получаем решение неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int\dfrac{bd\,x}{(x+c)^2+f^2}= \dfrac{b}{d}\arctg\dfrac{x+c}{f} + C.$

Пример 3 - вычислить неопределенный интеграл

Интегралы вида:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^n+a^n},\$ где $\displaystyle \ n\in \mathbb{N}.$

Данный интеграл встречается очень часто (при конкретных знаяениях степени

), в основном при интегрировании рациональных функций, и хорошо известен.

Сделаем замену линейную замену переменных в интеграле

$\displaystyle \begin{array}{c} x = at \Rightarrow\\ dx=d(at)\Rightarrow\\ dx=adt, \end{array}$

теперь с помощью линейной замены избавимся от переменной

в исходном интеграле.

Получаем, что интеграл преобразуется следующим образом:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^n+a^n}= \int\dfrac{adt}{a^nt^n+a^n}= \dfrac{1}{a^{n-1}}\int\dfrac{dt}{t^n+1}.$

Один из способов вычисления данного неопределенного интеграла основывается на том, что решение уравнения выписывается в явном виде (над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ ) и еще на паре свойств этого решения, о которых будет сказано позже. Этот способ рассматривался выше. Было получено:

$\displaystyle \frac{1}{x^n+1} = \left\{ \begin{array}{c} \sum\limits_{l=0}^{... ..._{l=0}^{k-1}\dfrac{A_lx+B_l}{x^2-2a_lx+1},\ n = 2k + 1; \end{array} \right.$

Далее, выделяя полный квадрат в знаменателе, применяя результаты из предыдущих примеров, получаем ответ.