MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Основные понятия

Примеры решений задач
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int\frac{x-2}{x^3} d\,x.
$
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\right)d\,x
$
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int (\sqrt{x} + {\sqrt[3]{x}}) dx.
$
Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла.

Выражение вида $ \int f(x)dx$ называется интегралом от функции f(x), где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x, с символом $ \int$ всегда присутствует dx.

Определение. Неопределенным интегралом $ \int f(x)dx$ называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. $ \int f(x)dx=F(x)+C,$ или $ d(F(x)+C)=f(x)dx.$ Функцию $ F(x)$ называют первообразной функции $ f(x)$ . Первообразная функции $ f(x)$ определяется с точностью до постоянной величины.

Напомним, что $ dF(x)$ -дифференциал функции $ F(x)$ и определяется следующим образом:

$\displaystyle dF(x)=F'(x)dx.
$

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции, производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

Например, известно, что $ x'=1$ , тогда получается, что $ \int 1dx=\int dx = x+C$ , здесь $ C$ - произвольная постоянная.

Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы с неопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях.