Основные понятия

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\frac{x-2}{x^3} d\,x.$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\right)d\,x$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int (\sqrt{x} + {\sqrt[3]{x}}) dx.$

ответ и решение

Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла.

Выражение вида $\int f(x)dx$ называется интегралом от функции f(x), где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x, с символом $\int$ всегда присутствует dx.

Определение. Неопределенным интегралом $\int f(x)dx$ называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. $\int f(x)dx=F(x)+C,$ или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.

Напомним, что -дифференциал функции и определяется следующим образом:

$\displaystyle dF(x)=F'(x)dx.$

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции, производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

Например, известно, что , тогда получается, что $\int 1dx=\int dx = x+C$ , здесь - произвольная постоянная.

Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы с неопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях.