Интегрирование многочленов

Пусть подынтегральная функция

с постоянными коэффициентами $a_i\in \textbf{R}$ , где $i=0,1,2,\ldots,n$ , т.е.

$\displaystyle f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0.$

Проинтегрируем данную функцию по переменной . Для взятия данного неопределенного интеграла учтем свойства интегралов (линейность) и примем во внимание таблицу основных интегралов, получим:

$\displaystyle \int f(x)\,dx= \int(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0)\,dx=$

$\displaystyle = \int a_nx^n\,dx+\int a_{n-1}x^{n-1}\,dx+\ldots+\int a_0\,dx=$

$\displaystyle = a_n\int x^n\,dx+a_{n-1}\int x^{n-1}\,dx+\ldots+a_0\int \,dx=$

$\displaystyle = a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+a_{n-1}\frac{x^n}{n}+\ldots+a_0x+C.$

Тем самым получаем, что любой многочлен с вещественными коэффициентами может быть проинтегрирован.