MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Интегрирование многочленов

Пусть подынтегральная функция $ f(x)$ является многочленом $ n$ -ой степени от переменной $ x$ с постоянными коэффициентами $ a_i\in \textbf{R}$ , где $ i=0,1,2,\ldots,n$ , т.е.

$\displaystyle f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0.
$

Проинтегрируем данную функцию $ f(x)$ по переменной $ x$ . Для взятия данного неопределенного интеграла учтем свойства интегралов (линейность) и примем во внимание таблицу основных интегралов, получим:

$\displaystyle \int f(x)\,dx=
\int(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0)\,dx=
$

$\displaystyle =
\int a_nx^n\,dx+\int a_{n-1}x^{n-1}\,dx+\ldots+\int a_0\,dx=
$

$\displaystyle =
a_n\int x^n\,dx+a_{n-1}\int x^{n-1}\,dx+\ldots+a_0\int \,dx=
$

$\displaystyle =
a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+a_{n-1}\frac{x^n}{n}+\ldots+a_0x+C.
$

Тем самым получаем, что любой многочлен с вещественными коэффициентами может быть проинтегрирован.