Интегрирование подстановкой и непосредственное

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int \left(x^2 + 2x + \frac{1}{x}\right)d\,x$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int \frac{10x^8 + 3}{x^4}dx$

ответ и решение

Рассмотрим один из способов сведения исходного неопределенного интеграла к уже известным (существующим) интегралам.

Положив в $\int f(x)dx$ , что $x=\varphi(u)$ , т.е. переменная является функцией от , тогда

$\displaystyle x=\varphi(u)\Rightarrow dx=d\varphi(u)\Rightarrow dx=\varphi'(u)du,$

получим выражения для

. Теперь подставим полученные выражения в интеграл, следовательно:

$\displaystyle \int f(x)dx=\int f(\varphi(u))\varphi'(u)du = \Phi(u)+C=\Phi(\varphi^{-1}(x))+C,$

где

--произвольная постоянная и функция $\varphi^{-1}(x)$ -- обратная функция к $\varphi(u)$ . Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой (замена переменных).

Замечание. Последнее действие в предыдущем равенстве является обязательным, т.к. интеграл зависит от переменной , следовательно, ответ должен быть функцией от . Это операция называется - обратная замена переменных.

Общая замена переменных выглядит следующим образом:

$\displaystyle \xi(x)=\varphi(u)\Rightarrow x=\xi^{-1}(\varphi(u)),$

тогда

$\displaystyle d\xi(x)=d\varphi(u)\Rightarrow \xi'(x)dx=\varphi'(u)du$

и, используя эти равенства, добиваемся, чтобы в исходном интеграле, зависящим от

, не было вхождения

, т.е.

$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(\xi^{-1}(\varphi(u)))\frac{\varphi'(u)du}{\xi'(\xi^{-1}(\varphi(u)))}.$

Здесь следуя предыдущему замечанию необходимо сделать обратную замену переменных. Отметим, что если изначально, например, интегрировали по

, то ответ не должен содержать других переменных кроме

Например.

Вычислить интеграл:

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x+1}.$

Решение.

Сделаем замену переменных и найдем дифференциал от обеих частей, тогда

$\displaystyle dt=d(x+1)\Rightarrow dt=(x+1)'dx\Rightarrow dt=dx.$

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x+1}= \int\dfrac{dt}{t}= \ln\vert t\vert+C= \ln\vert x+1\vert+C,$

где $C-\rm const$ . Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных.

В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Самой простой подстановкой (заменой переменных) является линейная замена, частный случай общей замены переменных.

Линейная подстановка (линейная замена) применяется для интегралов вида

$\displaystyle \int f(ax+b)dx.$

Положив

$\displaystyle u=ax+b \Rightarrow du=(ax+b)'dx \Rightarrow du=adx \Rightarrow dx=\frac{du}{a},$

получаем:

$\displaystyle \int f(ax+b)dx= \frac{1}{a}\int f(u)du= \frac{1}{a}F(u)+C= \frac{1}{a}F(ax+b)+C,$

здесь

-первообразная для

Способ непосредственного интегрирования состоит в том, чтобы, применяя только свойства интегралов, свести его к табличному интегралу.

Например.

Вычислить интеграл:

$\displaystyle \int\frac{3dx}{x^2}.$

Решение.

Применяя свойства интеграла (линейность), т.е. $\int Au(x)dx=A\int u(x)dx$ , сводим к табличному интегралу, получаем, что

$\displaystyle \int\frac{3}{x^2}dx= 3\int\frac{dx}{x^2}= -\frac{3}{x}+C,$

где $C-\rm const$ .