MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Интегрирование подстановкой и непосредственное

Примеры решений задач
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int \left(x^2 + 2x + \frac{1}{x}\right)d\,x$
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int \frac{10x^8 + 3}{x^4}dx$
Рассмотрим один из способов сведения исходного неопределенного интеграла к уже известным (существующим) интегралам.

Положив в $ \int f(x)dx$ , что $ x=\varphi(u)$ , т.е. переменная $ x$ является функцией от $ u$ , тогда

$\displaystyle x=\varphi(u)\Rightarrow
dx=d\varphi(u)\Rightarrow
dx=\varphi'(u)du,
$

получим выражения для $ x$ и $ dx$ . Теперь подставим полученные выражения в интеграл, следовательно:

$\displaystyle \int f(x)dx=\int f(\varphi(u))\varphi'(u)du = \Phi(u)+C=\Phi(\varphi^{-1}(x))+C,
$

где $ C$ --произвольная постоянная и функция $ \varphi^{-1}(x)$ -- обратная функция к $ \varphi(u)$ . Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой (замена переменных).

Замечание. Последнее действие в предыдущем равенстве является обязательным, т.к. интеграл зависит от переменной $ x$ , следовательно, ответ должен быть функцией от $ x$ . Это операция называется - обратная замена переменных.

Общая замена переменных выглядит следующим образом:

$\displaystyle \xi(x)=\varphi(u)\Rightarrow
x=\xi^{-1}(\varphi(u)),
$

тогда

$\displaystyle d\xi(x)=d\varphi(u)\Rightarrow \xi'(x)dx=\varphi'(u)du
$

и, используя эти равенства, добиваемся, чтобы в исходном интеграле, зависящим от $ x$ , не было вхождения $ x$ , т.е.

$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int
f(\xi^{-1}(\varphi(u)))\frac{\varphi'(u)du}{\xi'(\xi^{-1}(\varphi(u)))}.
$

Здесь следуя предыдущему замечанию необходимо сделать обратную замену переменных. Отметим, что если изначально, например, интегрировали по $ x$ , то ответ не должен содержать других переменных кроме $ x$ .

Например.

Вычислить интеграл:

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x+1}.
$

Решение.

Сделаем замену переменных $ x+1=t$ и найдем дифференциал от обеих частей, тогда

$\displaystyle dt=d(x+1)\Rightarrow
dt=(x+1)'dx\Rightarrow
dt=dx.
$

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x+1}=
\int\dfrac{dt}{t}=
\ln\vert t\vert+C=
\ln\vert x+1\vert+C,
$

где $ C-\rm const$ . Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных.

В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Самой простой подстановкой (заменой переменных) является линейная замена, частный случай общей замены переменных.

Линейная подстановка (линейная замена) применяется для интегралов вида

$\displaystyle \int f(ax+b)dx.
$

Положив

$\displaystyle u=ax+b \Rightarrow
du=(ax+b)'dx \Rightarrow
du=adx \Rightarrow
dx=\frac{du}{a},
$

получаем:

$\displaystyle \int f(ax+b)dx=
\frac{1}{a}\int f(u)du=
\frac{1}{a}F(u)+C=
\frac{1}{a}F(ax+b)+C,
$

здесь $ F(u)$ -первообразная для $ f(u)$ .

Способ непосредственного интегрирования состоит в том, чтобы, применяя только свойства интегралов, свести его к табличному интегралу.

Например.

Вычислить интеграл:

$\displaystyle \int\frac{3dx}{x^2}.
$

Решение.

Применяя свойства интеграла (линейность), т.е. $ \int Au(x)dx=A\int u(x)dx$ , сводим к табличному интегралу, получаем, что

$\displaystyle \int\frac{3}{x^2}dx=
3\int\frac{dx}{x^2}=
-\frac{3}{x}+C,
$

где $ C-\rm const$ .