MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Интегрирование по частям

Примеры решений задач
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int \ln x\,dx.
$
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int x\ln(x-1)\,dx.
$
Рассмотрим еще один из способов вычисления неопределенных интегралов - интегрирование по частям.

Проинтегрируем формулу дифференциала произведения

$\displaystyle d(u(x)v(x))=u(x)dv(x)+v(x)du(x),
$

т.к. интеграл от дифференциала функции есть сама функция (см. свойства интеграла), то получаем, что

$\displaystyle \int d(u(x)v(x))=\int u(x)dv(x)+\int v(x)du(x)\Rightarrow
$

$\displaystyle u(x)v(x)+C=\int u(x)dv(x)+\int v(x)du(x),
$

получаем формулу интегрирования по частям

$\displaystyle \int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$   или$\displaystyle $

$\displaystyle \int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx.
$

С помощью формулы интегрирования по частям вычисляется достаточно большой класс неопределенных интегралов. Во многих случаях, применяя данную формулу, это есть единственный способ вычислить интеграл.

Для применения данной формулы, необходимо подынтегральную функцию разбить на произведение двух функций, одна из которых является производной, далее применить формулу интегрирования по частям. Получаем, что для эффективного использования метода интегрирования по частям необходимо хорошо разбираться в дифференцировании функций.

Пример применения метода для вычисления неопределенного интеграла