MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Пример решения задачи

С помощью формулы интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл:

$\displaystyle \int xdx.
$

Решение.

Представим подынтегральную функцию в виде

$\displaystyle x=x'x,
$

тогда получим (используя формулу интегрирования по частям), что

$\displaystyle \int xdx=
\int (x)'xdx=
x^2+C_1-\int x(x)'dx=
x^2+C_1-\int xdx.
$

Перенесем интеграл, стоящий в правой части в левую часть, получим

$\displaystyle 2\int xdx=
x^2+C_1,
$

выразим исходный неопределенный интеграл и получим ответ:

$\displaystyle \int xdx=\frac{x^2}{2}+C,
$

где C-- произвольная постоянная.

Здесь приведен один из способов представления функции в виде произведения производной и функции. Существует еще много других способов, например, нужно учитывать, что $ (e^x)'=e^x$ , $ \sin'x=\cos x$ и $ \cos'x=-\sin x$ .