MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Интегрирование рациональных алгебраических функций

Примеры решений задач
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int\dfrac{3x-4}{x^2-4} dx.
$
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^2+4x+5}.
$
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \int\dfrac{x dx}{x^4+0.25}.
$
Напомним, что рациональной алгебраической функцией называется дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами с вещественными коэффициентами. Обозначим рациональную дробь через $ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ , где $ P(x)$ и $ Q(x)$ многочлены степени $ n$ и $ m$ соответственно.

Рассмотрим случай, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя, т.е. $ n \leq m$ . Разделим многочлен $ P(x)$ на многочлен $ Q(x)$ с остатком, получим, что $ R(x)=L(x)+\frac{M(x)}{Q(x)}$ , где $ L(x)$ -многочлен степени $ n-m$ , $ M(x)$ - многочлен степени $ k<m$ .

Далее заметим, что при интегрировании $ R(x)$ можно без особого труда проинтегрировать $ L(x)$ .

Перейдем к рассмотрению неопределенного интеграла от $ \frac{M(x)}{Q(x)}$ . Хорошо известно, что многочлен можно разложить на линейные и квадратические множители. Поступим таким образом со знаменателем, т.е.

$\displaystyle Q(x)=(x-x_1)^{\alpha_1}(x-x_2)^{\alpha_2}\ldots(x-x_r)^{\alpha_r}...
...^2+p_1x+q_1)^{\beta_1}(x^2+p_2x+q_2)^{\beta_2}\ldots(x^2+p_lx+q_l)^{\beta_l},
$

где $ \alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_r+\beta_1+\beta_2+\ldots+\beta_l=m$ , $ m$ - степень знаменателя, т.е. многочлена $ Q(x)$ . Тогда рациональная дробь $ \frac{M(x)}{Q(x)}$ разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:

$\displaystyle \frac{M(x)}{Q(x)}=
$

$\displaystyle =
\frac{M(x)}{(x-x_1)^{\alpha_1}(x-x_2)^{\alpha_2}\ldots(x-x_r)^...
...2+p_1x+q_1)^{\beta_1}(x^2+p_2x+q_2)^{\beta_2}\ldots(x^2+p_lx+q_l)^{\beta_l}}=
$

$\displaystyle =
\frac{A_{11}}{x-x_1}+\frac{A_{12}}{(x-x_1)^2}+\ldots+\frac{A_{1\alpha_1}}{(x-x_1)^{\alpha_1}}+
$

$\displaystyle +
\frac{A_{21}}{x-x_2}+\frac{A_{22}}{(x-x_2)^2}+\ldots+\frac{A_{2\alpha_2}}{(x-x_2)^{\alpha_2}}+\ldots+
$

$\displaystyle +
\frac{A_{r1}}{x-x_r}+\frac{A_{r2}}{(x-x_r)^2}+\ldots+\frac{A_{r\alpha_r}}{(x-x_r)^{\alpha_r}}+
$

$\displaystyle +
\frac{M_{11}x+N_{11}}{x^2+p_1x+q_1}+\frac{M_{12}x+N_{12}}{(x^2...
...x+q_1)^2}+\ldots+\frac{M_{1\beta_1}x+N_{1\beta_1}}{(x^2+p_1x+q_1)^{\beta_1}}+
$

$\displaystyle +
\frac{M_{21}x+N_{21}}{x^2+p_2x+q_2}+\frac{M_{22}x+N_{22}}{(x^2...
...x+q_2)^2}+\ldots+\frac{M_{2\beta_2}x+N_{2\beta_2}}{(x^2+p_2x+q_2)^{\beta_2}}+
$

$\displaystyle +
\frac{M_{l1}x+N_{l1}}{x^2+p_lx+q_l}+\frac{M_{l2}x+N_{l2}}{(x^2...
...x+q_l)^2}+\ldots+\frac{M_{l\beta_l}x+N_{2\beta_l}}{(x^2+p_lx+q_l)^{\beta_l}}.
$

Коэффициенты $ A_{ij}$ , $ M_{ij}$ и $ N_{ij}$ находятся методом неопределенных коэффициентов.

Далее интегрируя каждую из полученных дробей, получаем ответ.

Проинтегрируем первые дроби. Достаточно рассмотреть следующий интеграл:

$\displaystyle \int\frac{dx}{(x-b)^n}=
\left\{
\begin{array}{c}
\dfrac{1}{(1-...
...ne 1;\\
\ln\vert x-b\vert + C,\ \mbox{ãäå}\ n = 1.
\end{array}
\right.
$

С интегралами от квадратов дело обстоит посложнее. Их можно свести к уже рассмотренным неопределенным интегралам (интегралы от специальных функций).

Тем самым рациональную алгебраическую дробь можно проинтегрировать.