MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Пример решения задачи

Найти неопределенный интеграл от рациональной дроби:

$\displaystyle \int\frac{x^4+4x^3+4x^2-1}{(x-1)(x^2+1)(x+1)^2}\,dx.
$

Решение.

Используя предыдущие результаты дробь можно записать в следующем виде:

$\displaystyle \frac{x^4+4x^3+4x^2-1}{(x-1)(x^2+1)(x+1)^2}=
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x^2+1}.
$

Тем самым интеграл перепишется в виде:

$\displaystyle \int\frac{x^4+4x^3+4x^2-1}{(x-1)(x^2+1)(x+1)^2}\,dx =
\int\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x^2+1}\right)\,dx=
$

$\displaystyle =
\int\frac{dx}{x-1}+\int\frac{dx}{(x+1)^2}+\int\frac{dx}{x^2+1}=
$

$\displaystyle =
\ln\vert x-1\vert-\frac{1}{x+1}+\arctg x+C.
$