Интегрирование специального вида функций

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{a^2+x^2}.$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}.$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^2-a^2}$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^2+k}.$

ответ и решение

Рассмотрим неопределенные интегралы вида $\dst\int\dfrac{dx}{x^2\pm a^2}$ , $\dst\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$ , $\dst\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+k}}$ и к ним приводящие.

Существует достаточно много неопределенных интегралов, которые приводятся с помощью замен и свойств к определенному виду. Этот вид можно описать с помощью функций, содержащих параметры. Например, интегрирование рациональных функций сводится к серии неопределенных интегралов, некоторые из которых сводятся к рассматриваемым интегралам.

К этим интегралам относятся следующие:

$\displaystyle \dst\int\dfrac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C,$

$\displaystyle \dst\int\dfrac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left\vert\frac{x-a}{x+a}\right\vert+C,$

$\displaystyle \dst\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C,$

$\displaystyle \dst\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+k}}= \ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert+C,$

которые, можно сказать, что являются табличными.

Вывод данных неопределенных интегралов можно найти на сайте.