Интегрирование тригонометрических функций

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\frac{1-\sin^3x}{\sin^2x} dx$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\tg^2x d\,x$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\sin x \cos x dx$

ответ и решение

Хорошо известно, что, например, решение тригонометрических уравнении можно получить многими способами: один - простой, но рутинный, а другой - трудный, но оригинальный. Т.е. для того, чтобы 'увидеть' оригинальный способ решения, нужно хорошо ориентироваться во всем множестве формул тригонометрии и знать специальные методы решения. Также обстоит дело и в интегрировании тригонометрических выражений, т.е. необходимо помнить много формул и свойств тригонометрии.

При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения $\tg x$ и $\ctg x$ , как функции отношения $\sin x$ к $\cos x$ и $\cos x$ к $\sin x$ соответственно, для эффективной замены переменных.

Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.

Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

$\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2},\ \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$

Для избавления от произведения используются следующие формулы:

$\displaystyle \sin x\sin y= \frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y)),\ \sin x\cos y=\frac{1}{2}(\sin(y-x)+\sin(x+y)),\$

$\displaystyle \cos x\cos y=\frac{1}{2}(\cos(x-y)+\cos(x+y)).$

Также нужно помнить формулы двойных углов:

$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x,\ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x.$