MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Таблица неопределенных интегралов

Примеры решений задач
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \quad \int a^x\left(1+\frac{a^{-x}}{\sqrt{x^3}}\right)\,d\,x.
$
Решить неопределенный интеграл
$\displaystyle \quad \int\left(\frac{2}{1+x^2}-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)d\,x.
$
Решить неопределенный интеграл $ \int\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)\,d\,x$
Ниже выписана основная таблица неопределенных интегралов, в данной таблице приведены неопределенные интегралы от основных функций. Вычисление (взятие) интегралов заключается в том, чтобы специальными методами (заменами переменных) свести данный неопределенный интеграл к уже известному (существующему) интегралу, т.е. неопределенному интегралу из данной таблицы интегралов.

  1. $\displaystyle \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\ $   где$\displaystyle \ (n\ne -1).
$

  2. $\displaystyle \int\frac{dx}{x}=\int x^{-1} dx=\ln\vert x\vert+C.
$

  3. $\displaystyle \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C.
$

  4. $\displaystyle \int e^x dx=e^x+C.
$

  5. $\displaystyle \int\cos x dx=\sin x+C.
$

  6. $\displaystyle \int\sin x dx=-\cos x+C.
$

  7. $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x+C.
$

  8. $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^2 x}=-\ctg x+C.
$

  9. $\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x+C= -\arcctg x+C.
$

  10. $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C= -\arccos x+C.
$

  11. $\displaystyle \int \ch xdx=\sh x+C.
$

  12. $\displaystyle \int \sh xdx=\ch x+C.
$

  13. $\displaystyle \int\frac{dx}{\ch^2x}=\th x+C.
$

  14. $\displaystyle \int\frac{dx}{\sh^2x}=-\cth x+C.
$

Здесь C - произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно, неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной.