Реккурентные формулы для интегрирования

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\sin^nx dx=-\dfrac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\dfrac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\,dx.$

$\displaystyle \int\sin^6x dx.$

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

$\displaystyle \int\cos^nx dx=\dfrac{1}{n}\sin x\cos^{n-1}x+\dfrac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}x\,dx.$

$\displaystyle \int\cos^6 x dx.$

ответ и решение

Почти в любом разделе математики можно найти задачи, имеющие ту или иную зависимость. Представляет интерес так называемая реккурентная зависимость, т.е. когда нужное значение выражается через предыдущие. Получается, что нужное значение нельзя найти, если не известно предыдущее (или несколько предыдущих) значение.

Рассмотрим способ взятия неопределенных интегралов, который можно назвать реккурентным. Данный способ основывается на формуле интегрирования по частям. Идея в том, чтобы из известного интеграла путем применения формулы интегрирования по частям получить нужный интеграл.

Покажем на примере применимость данного метода.

Хорошо известно, что при интегрирование рациональных функций появляется интеграл от следующей дроби:

$\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^n},\$ где $\displaystyle \ n = 1,2,\ldots,$

при

-- это табличный интеграл, который равен $\arctg x + C$ .

Предположим, что нам известен следующий интеграл:

$\displaystyle \int\frac{d\,x}{(x^2+1)^n} = A$

и из него, применяя формулу интегрирования по частям, найдем выражение для интеграла

$\displaystyle \int\frac{d\,x}{(x^2+1)^{n+1}}.$

Справедлива следующая цепочка равенств (эта цепочка вынесена в задачу):

$\displaystyle A = \int\frac{d\,x}{(x^2+1)^n} =$

$\displaystyle = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n\left(A-\int\frac{d\,x}{(x^2+1)^{n+1}}\right).$

Далее приравниваем левую часть к правой и выражаем исходный интеграл. Из равенства

$\displaystyle A = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n\left(A-\int\frac{d\,x}{(x^2+1)^{n+1}}\right),$

получаем

$\displaystyle \int\frac{d\,x}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{2n-1}{2n}A +\frac{x}{2n(x^2+1)^n} + C.$

Рассмотрим пример.

Пусть , тогда

$\displaystyle \int\frac{d\,x}{(x^2+1)^{2}} = \frac{1}{2}\arctg x +\frac{x}{2(x^2+1)} + C.$

Теперь, зная этот интеграл, можно найти следующий и т.д.