Непрерывность функции

Определение. Функция

называется непрерывной в точке

, если она определена в некоторой окрестности точки

и выполняется равенство:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a).$

Данное определение эквивалентно следующим четырем условиям непрерывности:

Функция должна быть определена в некоторой окрестности точки ;
Должны существовать конечные односторонние пределы

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a-0}f(x)$ и $\displaystyle \quad \lim\limits_{x\to a+0}f(x);$
Эти односторонние (левый и правый) пределы должны совпадать:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a-0}f(x) = \lim\limits_{x\to a+0}f(x);$
Эти пределы должны быть равны :

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a-0}f(x) = \lim\limits_{x\to a+0}f(x) = f(a).$

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке $[x_1,\,x_2]$ , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его концах выполняются равенства:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_1+0}f(x)=f(x_1)$ и $\displaystyle \quad \lim\limits_{x\to x_2-0}f(x)=f(x_2).$