MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Непрерывность функции

Определение. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x = a$ , если она определена в некоторой окрестности точки $ a$ и выполняется равенство:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a).
$

Данное определение эквивалентно следующим четырем условиям непрерывности:

  1. Функция $ f(x)$ должна быть определена в некоторой окрестности точки $ a$ ;
  2. Должны существовать конечные односторонние пределы

    $\displaystyle \lim\limits_{x\to a-0}f(x)$   и$\displaystyle \quad \lim\limits_{x\to a+0}f(x);
$

  3. Эти односторонние (левый и правый) пределы должны совпадать:

    $\displaystyle \lim\limits_{x\to a-0}f(x) = \lim\limits_{x\to a+0}f(x);
$

  4. Эти пределы должны быть равны $ f(a)$ :

    $\displaystyle \lim\limits_{x\to a-0}f(x) = \lim\limits_{x\to a+0}f(x) = f(a).
$

Определение. Функция $ f(x)$ называется непрерывной на отрезке $ [x_1,\,x_2]$ , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его концах выполняются равенства:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_1+0}f(x)=f(x_1)$   и$\displaystyle \quad
\lim\limits_{x\to x_2-0}f(x)=f(x_2).
$