MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Точки разрыва функции

Определение. Функция $ f(x)$ имеет точку разрыва при $ x = a$ , если она определена слева и справа от точки $ a$ , но в точке $ a$ не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Точки разрыва функции $ f(x)$ :

  1. Точка устранимого разрыва;
  2. Точка разрыва первого рода;
  3. Точка разрыва второго рода.

Точка $ a$ является точкой устранимого разрыва, если функция в точке $ a$ не определена и существуют равные конечные пределы $ \lim\limits_{x\to a-0}f(x)$ и $ \lim\limits_{x\to a+0}f(x)$ , т.е. $ \lim\limits_{x\to a-0}f(x) = \lim\limits_{x\to a+0}f(x)$ .

Точка $ a$ является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы $ \lim\limits_{x\to a-0}f(x)$ и $ \lim\limits_{x\to a+0}f(x)$ , т.е. выполняется второе условие непрерывности и не выполняются остальные условия или хотя бы одно из них.

Точка $ a$ является точкой разрыва второго рода, если один из пределов $ \lim\limits_{x\to a-0}f(x)$ и $ \lim\limits_{x\to a+0}f(x)$ равен бесконечности ($ \pm\infty$ ).