Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции

Рассмотрим приложение производной функции к исследованию поведения функции. По первой производной функции можно определить промежутки возрастания и убывания функции, а также определить точки экстремума функции (максимум и минимум).

Определение. Функция называется возрастающей в точке , если в некоторой $\varepsilon$ -окрестности этой точки справедливо

$\displaystyle f(x_0-h)<f(x_0)<f(x_0+h)$

для любого $h\in[0,\,\varepsilon]$ .

Определение. Функция называется возрастающей на отрезке $[a,\,b]$ , если для любых двух точек $x_1,x_2\in[a,\,b]$ справедливо неравенство

$\displaystyle f(x_1)<f(x_2),$

когда

Определение. Функция называется убывающей в точке , если в некоторой $\varepsilon$ -окрестности этой точки справедливо неравенство

$\displaystyle f(x_0-h)>f(x_0)>f(x_0+h)$

для любого $h\in[0,\,\varepsilon]$ .

Определение. Функция называется убывающей на отрезке $[a,\,b]$ , если для любых двух точек $x_1,x_2\in[a,\,b]$ справедливо неравенство

$\displaystyle f(x_1)>f(x_2),$

когда

Определение. Функция имеет в точке максимум, если значение является наибольшим в некоторой двустороней окрестности точки .

Определение. Функция имеет в точке минимум, если значение является наименьшим в некоторой двусторонней окрестности точки .

Определение. Функция имеет в точке экстремум, если точка является точкой максимума или минимума.

Признаки (достаточные) возрастания и убывания функции :

Если на интервале $(a,\,b)$ , то функция возрастает на этом интервале;

Если на интервале $(a,\,b)$ , то функция убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума функции.

Функция может иметь экстремум только в точках, где или производная не существует. Точка, где или производная не существует называется критической точкой.

Заметим, что если в точке выполняется, что , то это означает, что касательная в данной точке параллельная оси . Если производная в точке не существует, то это значит либо касательная вертикальная, либо ее нет в данной точке.

Достаточные условие экстремума функции.

Если функция непрерывна в точке и имеет в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки , конечную производную и если при переходе через точку :

меняет знак с '+' на '-', то точка -- точка максимума;

меняет знак с '-' на '+', то точка -- точка минимума;

не меняет знак, то точка не является точкой экстремума.