MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции

Рассмотрим приложение производной функции к исследованию поведения функции. По первой производной функции можно определить промежутки возрастания и убывания функции, а также определить точки экстремума функции (максимум и минимум).

Определение. Функция $ f(x)$ называется возрастающей в точке $ x_0$ , если в некоторой $ \varepsilon$ -окрестности этой точки справедливо

$\displaystyle f(x_0-h)<f(x_0)<f(x_0+h)
$

для любого $ h\in[0,\,\varepsilon]$ .

Определение. Функция $ f(x)$ называется возрастающей на отрезке $ [a,\,b]$ , если для любых двух точек $ x_1,x_2\in[a,\,b]$ справедливо неравенство

$\displaystyle f(x_1)<f(x_2),
$

когда $ x_1<x_2$ .

Определение. Функция $ f(x)$ называется убывающей в точке $ x_0$ , если в некоторой $ \varepsilon$ -окрестности этой точки справедливо неравенство

$\displaystyle f(x_0-h)>f(x_0)>f(x_0+h)
$

для любого $ h\in[0,\,\varepsilon]$ .

Определение. Функция $ f(x)$ называется убывающей на отрезке $ [a,\,b]$ , если для любых двух точек $ x_1,x_2\in[a,\,b]$ справедливо неравенство

$\displaystyle f(x_1)>f(x_2),
$

когда $ x_1<x_2$ .

Определение. Функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ максимум, если значение $ f(x_0)$ является наибольшим в некоторой двустороней окрестности точки $ x_0$ .

Определение. Функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ минимум, если значение $ f(x_0)$ является наименьшим в некоторой двусторонней окрестности точки $ x_0$ .

Определение. Функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ экстремум, если точка $ x_0$ является точкой максимума или минимума.

Признаки (достаточные) возрастания и убывания функции $ y~=~f(x)$ :

Если $ f'(x)>0$ на интервале $ (a,\,b)$ , то функция $ y=f(x)$ возрастает на этом интервале;

Если $ f'(x)<0$ на интервале $ (a,\,b)$ , то функция $ y=f(x)$ убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума функции.

Функция $ y=f(x)$ может иметь экстремум только в точках, где $ f'(x)=0$ или производная не существует. Точка, где $ f'(x)=0$ или производная не существует называется критической точкой.

Заметим, что если в точке $ x_0$ выполняется, что $ f'(x)=0$ , то это означает, что касательная в данной точке параллельная оси $ Ox$ . Если производная в точке $ x_0$ не существует, то это значит либо касательная вертикальная, либо ее нет в данной точке.

Достаточные условие экстремума функции.

Если функция $ y=f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$ и имеет в некоторой окрестности точки $ x_0$ , кроме, быть может самой точки $ x_0$ , конечную производную и если при переходе $ x$ через точку $ x_0$ :

$ f'(x)$ меняет знак с '+' на '-', то точка $ x_0$ -- точка максимума;

$ f'(x)$ меняет знак с '-' на '+', то точка $ x_0$ -- точка минимума;

$ f'(x)$ не меняет знак, то точка $ x_0$ не является точкой экстремума.