Исследование функции и построение ее графика

Исследование функции встречается достаточно часто как в школьной алгебре, так и в институтском математическом анализе. По сути исследование -- это объединение в одном примере знаний по нескольким темам, таких как: непрерывность, дифференцируемость, нахождение пределов и т.д.

Приведем характерный план исследования функции:

1. Найти область определения и область значения (если можно) функции;
2. Указать точки разрыва функции и определить их тип;
3. Найти нули функции, точки пересечения с осью , области, где функция положительна и отрицательна;
4. Исследовать функцию на четность и нечетность, на периодичность;
5. Определить интервалы монотонности функции (возрастание, убывание функции), точки экстремума функции;
6. Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции, найти точки перегиба;
7. Найти асимптоты функции (горизонтальные, вертикальные и наклонные);
8. Определить подход графика функции к асимптотам;
9. Используя полученные результаты, построить график функции.

Пункты требуют знания школьного курса алгебры; пункт основан на знании пределов функции: пункт основан на знании производной функции и на ее приложении к исследованию функции: пункт требует знания второй производной и ее применение: пункты основаны на знании пределов.