MATH4YOU.ru
On-line учебник: теория и решение задач

Исследование функции и построение ее графика

Исследование функции встречается достаточно часто как в школьной алгебре, так и в институтском математическом анализе. По сути исследование -- это объединение в одном примере знаний по нескольким темам, таких как: непрерывность, дифференцируемость, нахождение пределов и т.д.

Приведем характерный план исследования функции:

  1. Найти область определения и область значения (если можно) функции;
  2. Указать точки разрыва функции и определить их тип;
  3. Найти нули функции, точки пересечения с осью $ Oy$ , области, где функция положительна и отрицательна;
  4. Исследовать функцию на четность и нечетность, на периодичность;
  5. Определить интервалы монотонности функции (возрастание, убывание функции), точки экстремума функции;
  6. Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции, найти точки перегиба;
  7. Найти асимптоты функции (горизонтальные, вертикальные и наклонные);
  8. Определить подход графика функции к асимптотам;
  9. Используя полученные результаты, построить график функции.

Пункты $ 1,\ 3,\ 4$ требуют знания школьного курса алгебры; пункт $ 2$ основан на знании пределов функции: пункт $ 5$ основан на знании производной функции и на ее приложении к исследованию функции: пункт $ 6$ требует знания второй производной и ее применение: пункты $ 7,\ 8$ основаны на знании пределов.